Les 100 schémas
qui ont changé le monde

La carte médiévale en T dans l’O

Vers l’an 630, Isidore, évêque de Séville, achevait l’ouvrage de référence le plus ambitieux du haut Moyen Âge. Ses Etymologiae entendaient tout expliquer, de la grammaire à la médecine, des navires aux pierres, en remontant à l’origine des mots qui les désignent. Dans la partie consacrée à la Terre, les copistes placèrent un petit dessin appelé à devenir l’une des images du monde les plus recopiées des mille ans suivants : un cercle renfermant un T.

Le dessin est d’une simplicité presque désarmante. L’anneau extérieur est l’Océan, que les Anciens imaginaient ceinturant la terre habitée comme des douves. À l’intérieur, le disque est partagé par un T d’eau. La hampe figure la Méditerranée, la grande mer. La barre transversale est formée de deux fleuves : le Don, ou Tanaïs, d’un côté, et le Nil de l’autre. Les trois espaces restants sont les trois continents connus. L’Asie occupe toute la moitié supérieure, tandis que l’Europe et l’Afrique se partagent les deux quarts inférieurs. Bien des copies ajoutent les noms des fils de Noé, car les lecteurs médiévaux croyaient que le monde avait été partagé entre eux après le Déluge : Sem reçut l’Asie, Japhet l’Europe et Cham l’Afrique.

Le haut de la carte, c’est l’est, et non le nord. On situait le Paradis dans l’extrême Orient, et le soleil levant symbolisait le Christ : la place d’honneur revenait donc à l’orient. C’est de là que vient notre verbe « orienter » : orienter une carte, c’était à l’origine la tourner de façon que l’est soit en haut. Les versions plus tardives placent Jérusalem au centre exact, au point de jonction du T, suivant le verset d’Ézéchiel selon lequel Dieu a établi Jérusalem au milieu des nations. Le schéma d’Isidore lui-même n’y insiste pas, mais l’idée épousait si bien la forme qu’elle devint la règle.

On est tenté de ricaner devant une telle image et d’y voir la preuve que les gens du Moyen Âge croyaient la Terre plate. Pour la plupart, ce n’était pas le cas. Depuis Bède le Vénérable, les lettrés savaient que la Terre était une sphère, et le T dans l’O se comprend mieux comme le schéma de sa partie connue et habitée que comme un portrait de la planète. Le mythe de la Terre plate est en grande partie une invention du XIXe siècle, favorisée par la biographie romantique de Christophe Colomb signée Washington Irving. La carte en T dans l’O n’a jamais été destinée aux voyageurs. Personne ne naviguait avec. C’était un outil d’enseignement, un aide-mémoire sur l’ordonnance du monde et sur ses raisons.

C’est précisément ce qui fait son importance. Le T dans l’O est l’exemple le plus pur du schéma comme argument. Il écarte distances, côtes et échelle pour ne garder que des relations : trois parties, un océan, un centre sacré, la direction sainte en haut. Son message, répété dans des centaines de manuscrits, était que géographie et théologie ne formaient qu’une seule et même discipline. Lorsque Günther Zainer imprima une édition des Etymologiae à Augsbourg en 1472, la petite gravure sur bois en T dans l’O devint, de l’avis général, la première carte imprimée en Europe.

Ses descendants sont partout. Les grandes mappemondes médiévales de Hereford et d’Ebstorf sont des cartes en T dans l’O gonflées de détails. Toute carte qui place le pays de son auteur au milieu, tout plan de métro qui sacrifie les distances à la clarté, tout organigramme qui met le PDG au sommet hérite de la discrète leçon d’Isidore. Une carte dit où se trouvent les choses, mais elle dit aussi ce qui compte, et c’est souvent ce second message qui dure.

La grille de coordonnées de Ptolémée

Claude Ptolémée travaillait à Alexandrie au IIe siècle de notre ère, dans la ville qui abritait encore la plus grande bibliothèque du monde antique. On se souvient surtout de lui pour l’Almageste, son grand traité d’astronomie, mais vers 150 il écrivit un second ouvrage qui compta peut-être davantage encore : la Géographie. C’est moins un livre de cartes qu’un manuel pour en faire, et son idée centrale nous est si familière qu’on mesure mal à quel point elle était radicale. Chaque lieu doit être fixé par deux nombres.

L’essentiel de la Géographie est une liste. Ptolémée y recense quelque huit mille lieux, des embouchures des fleuves d’Irlande aux villes de Chine, et attribue à chacun une longitude et une latitude en degrés. La division du cercle en 360 degrés venait de l’astronomie babylonienne, par l’intermédiaire d’Hipparque, mais Ptolémée en fit un véritable système d’adresses pour l’ensemble du monde habité. La latitude se comptait à partir de l’équateur. La longitude, qui n’a pas de point de départ naturel, il la comptait vers l’est à partir des îles Fortunées, les Canaries, alors la terre la plus occidentale que l’on connût. Alexandrie, par exemple, se trouve à soixante degrés et demi de longitude et trente et un de latitude.

Il expliqua aussi comment aplatir une sphère sur une page sans tout défigurer. Sa première méthode trace les méridiens comme des droites rayonnant à partir d’un point situé au-dessus de la carte, et les parallèles comme des arcs de cercle centrés sur ce point : un cône déroulé sur le vélin. Le parallèle de Rhodes, à trente-six degrés, conserve ses vraies proportions, si bien que la déformation est minimale sur la Méditerranée, d’où provenaient la plupart de ses données. Une seconde méthode, plus élaborée, incurve aussi les méridiens, pour donner l’illusion plus convaincante encore d’un globe.

Les données étaient souvent fausses. Ptolémée adopta pour la taille de la Terre une valeur trop faible et étira l’Asie beaucoup trop loin vers l’est. Il referma l’océan Indien par une terre australe imaginaire reliant l’Afrique à l’Asie. Nombre de ses coordonnées n’avaient pas été mesurées, mais déduites des durées de voyage rapportées par les voyageurs. Pourtant, les erreurs tenaient aux nombres, non à la méthode, et les nombres se corrigent. Là était le génie du système : n’importe qui pouvait redessiner le monde à partir des tables, et quiconque disposait de meilleures mesures pouvait l’améliorer.

On ignore si Ptolémée a lui-même dessiné des cartes. Les plus anciennes cartes conservées qui suivent son texte furent réalisées par des savants byzantins vers 1300, après que le moine Maxime Planude fut parti à la recherche du livre oublié. Une traduction latine réalisée à Florence vers 1406 fit sensation dans l’Europe de la Renaissance, et des éditions imprimées accompagnées de cartes gravées suivirent à partir de 1477. Christophe Colomb connaissait le monde de Ptolémée, et son océan rétréci entre l’Espagne et l’Asie faisait paraître son voyage vers l’ouest plus court qu’il ne l’était.

Le véritable héritage, c’est la grille elle-même. Les cartes marines, la projection de Mercator, l’Ordnance Survey et tous les systèmes de navigation par satellite reposent sur le même postulat : un lieu est une paire de nombres sur un treillis de lignes. Quand un téléphone vous indique que vous vous trouvez par 51,5 degrés nord, il parle la langue de Ptolémée. Les images furent toujours provisoires. Le système d’adresses, lui, était permanent.

La mappemonde de Hereford

Dans la cathédrale de Hereford, derrière une vitre, dans une salle pénombreuse, est exposée la plus grande carte du monde médiévale parvenue intacte jusqu’à nous. Elle est dessinée sur une seule peau de veau d’environ un mètre et demi de haut, et le cou de l’animal dessine encore son sommet en pointe. Une note, dans un coin, demande à tous ceux qui liront la carte de prier pour Richard de Haldingham et de Lafford, qui l’a réalisée. Les spécialistes la datent des environs de 1300 et se disputent pour savoir si elle fut faite à Lincoln, où un Richard de ce nom occupait une charge, ou à Hereford même.

Au premier regard, on dirait une carte en T dans l’O qui aurait avalé une bibliothèque. Le cadre familier est bien là : un cercle d’océan, l’est en haut, la Méditerranée montant depuis le bas, le Don et le Nil s’étalant à gauche et à droite, et Jérusalem dessinée en ville ronde et fortifiée au centre exact. Mais chaque espace est envahi par quelque mille cent inscriptions et dessins : villes, fleuves, animaux, épisodes bibliques, légendes antiques et peuples de la Terre, réels ou imaginaires.

La lire est en soi un pèlerinage. Tout en haut, hors du monde, le Christ préside au Jugement, les élus s’élevant d’un côté, les damnés entraînés de l’autre. Juste à l’intérieur du cercle, à l’extrême est, le Paradis est une île ronde et close de murs, où Adam et Ève cueillent le fruit. La mer Rouge est peinte en rouge. L’arche de Noé repose sur sa montagne, la tour de Babel se dresse en Mésopotamie, et la Crète est signalée par un élégant labyrinthe circulaire. Le long du bord méridional, entassées en Afrique, figurent les races monstrueuses empruntées aux auteurs antiques : des hommes à un seul pied gigantesque, d’autres au visage logé dans la poitrine.

La patrie du cartographe est reléguée au bord inférieur gauche. La Grande-Bretagne et l’Irlande y sont des formes longues et tassées contre l’océan, ce qui est assez juste : vues de Jérusalem, elles étaient le bout du monde. Et la carte contient une erreur célèbre. Les noms de deux continents sont intervertis, si bien que l’Europe est étiquetée Afrique et l’Afrique Europe, ce qui rappelle que même une œuvre aussi somptueuse fut l’ouvrage de gens qui pouvaient avoir un mauvais après-midi.

Il serait facile de parler de mauvaise cartographie, mais ce serait passer à côté de sa fonction. La carte de Hereford est un index de tout ce que ses auteurs jugeaient digne d’être su, disposé dans l’espace pour que le spectateur puisse parcourir à la fois l’histoire, la géographie et le salut. Le temps et le lieu y sont repliés l’un sur l’autre : l’Éden, l’Exode et les villes du XIIIe siècle partagent la même feuille. Un voyageur se serait servi d’un itinéraire, une liste écrite d’étapes ; celle-ci servait à la contemplation et à l’enseignement, peut-être placée près d’un autel.

Son histoire moderne faillit mal finir. En 1988, la cathédrale, à court d’argent, proposa de la vendre. Un tollé public et des dons importants, notamment de John Paul Getty Junior, la maintinrent à Hereford et financèrent un nouveau bâtiment de bibliothèque pour l’abriter. Elle est aujourd’hui le plus bel exemple conservé de toute une manière de penser médiévale, où une carte était moins un outil pour se rendre quelque part qu’une image de la façon dont tout s’emboîte.

La carte de Waldseemüller de 1507

Dans la petite ville de Saint-Dié, dans les Vosges lorraines, un groupe de savants protégés par le duc René II entreprit de mettre le monde à jour. Leur principal cartographe était Martin Waldseemüller ; son collaborateur, le poète et professeur Matthias Ringmann. En 1507, ils publièrent conjointement deux choses : un court livre latin, la Cosmographiae Introductio, et une gigantesque carte du monde imprimée à partir de douze bois gravés. Assemblées, les feuilles formaient une carte murale de bien plus de deux mètres de large.

La carte est un étrange hybride. Elle reprend pour l’essentiel le monde de Ptolémée, récemment redécouvert et traité avec révérence : le contour incurvé de sa projection, son Asie boursouflée, ses toponymes. Mais les Portugais avaient contourné l’Afrique et atteint l’Inde, si bien que l’Afrique possède désormais une véritable pointe australe. Et sur le bord extrême gauche apparaît quelque chose de nouveau : une longue et mince masse de terre courant du nord au sud, coupée en deux près des tropiques, avec un océan ouvert dessiné derrière elle, à l’ouest.

Sur la partie méridionale de cette terre, à peu près là où se trouve aujourd’hui le Brésil, la carte imprime un seul mot : America. Le livre qui l’accompagne justifie ce choix. L’Europe et l’Asie, note-t-il, portent des noms de femmes ; rien n’empêche donc de nommer cette quatrième partie du monde d’après Amerigo Vespucci, le navigateur florentin qui, croyaient les auteurs, l’avait découverte. Ils avaient lu les récits imprimés des voyages de Vespucci, qui soutenaient que les terres situées de l’autre côté de l’Atlantique ne faisaient nullement partie de l’Asie, mais constituaient un nouveau monde. Certains historiens doutent que Vespucci ait écrit toutes les lettres imprimées sous son nom, ou accompli tous les voyages qu’on lui prête, mais les imprimeurs de Saint-Dié prirent ces récits au pied de la lettre. Christophe Colomb, qui n’admit jamais avoir atteint autre chose que l’Asie, n’a pas cet honneur. En haut de la carte, les deux autorités ont droit à un portrait : Ptolémée à côté de l’Ancien Monde, Vespucci à côté du Nouveau.

L’océan situé derrière la nouvelle terre est la grande énigme de la carte. Balboa n’aperçut le Pacifique depuis le Panama qu’en 1513, et la largeur réelle des Amériques était inconnue ; pourtant, la carte de 1507 y montre une mer. Peut-être s’agit-il d’une intuition géniale, de la lecture de rapports aujourd’hui perdus, ou simplement de la logique d’un nouveau continent qui devait bien s’arrêter quelque part. Les historiens en débattent encore.

Waldseemüller lui-même semble s’être ravisé. Ses cartes ultérieures abandonnèrent le nom. Mais une gravure sur bois est une machine à publier, et les cosmographes se seraient flattés d’avoir imprimé un millier d’exemplaires. Le mot se répandit à travers l’œuvre d’autres cartographes, et en 1538 Gérard Mercator l’appliqua aux deux continents, celui du nord et celui du sud. Dès lors, la question fut tranchée.

Pendant des siècles, on crut la carte de 1507 perdue. Un unique exemplaire refit surface en 1901 dans la bibliothèque du château de Wolfegg, dans le sud de l’Allemagne, relié dans un volume avec d’autres cartes. La Bibliothèque du Congrès l’acheta en 2003 pour dix millions de dollars, et il est aujourd’hui exposé à Washington comme une sorte d’acte de naissance de l’Amérique. C’est aussi une leçon sur le pouvoir de dessiner le premier. Personne n’a voté le nom de deux continents. Un schéma l’a proposé, et le schéma a été copié.

La projection de Mercator

Gérard Mercator était un graveur flamand, un fabricant de globes et un rescapé. Né en 1512, il fut arrêté en 1544, soupçonné d’hérésie luthérienne, et passa des mois en prison avant d’être relâché ; en 1552, il s’installa à Duisbourg, sur le Rhin, ville plus calme et plus tolérante. C’est là qu’il publia en 1569 une carte du monde en dix-huit feuilles, dotée d’un long titre latin qui annonçait exactement sa fonction : une description nouvelle et plus complète de la Terre, convenablement adaptée à l’usage des navigateurs.

Le problème qu’elle résolvait était pratique. Un pilote gouverne au compas, et le cap le plus simple à tenir est un cap constant, disons ouest-sud-ouest, jour et nuit. Sur un globe, une telle route est une spirale, une courbe appelée loxodromie, qui coupe tous les méridiens sous le même angle. Sur les cartes de l’époque, c’était aussi une courbe, et la tracer relevait de l’estime approximative. Mercator voulait une carte plane sur laquelle toute loxodromie serait une droite, de sorte qu’un navigateur puisse poser une règle d’un port à l’autre et lire directement le cap.

Sa solution fut de rendre les méridiens droits, parallèles et également espacés, comme si le globe avait été déroulé à partir d’un cylindre. Cela étire tout dans le sens est-ouest, de plus en plus vers les pôles, puisque sur la Terre réelle les méridiens convergent. Pour conserver les angles, Mercator étira la carte du nord au sud dans la même proportion, en espaçant de plus en plus les parallèles à mesure qu’ils montent. À soixante degrés nord, l’étirement est du double ; près des pôles, il tend vers l’infini, ce qui explique que les pôles n’apparaissent jamais.

Il y parvint par une construction minutieuse plutôt que par une formule, et ne publia jamais les mathématiques. Ce fut l’œuvre de l’Anglais Edward Wright, dont les Certaine Errors in Navigation, en 1599, donnaient des tables pour espacer les parallèles et montraient aux marins comment s’en servir. L’adoption fut lente, mais au XVIIIe siècle la carte de Mercator était devenue l’outil standard de la navigation hauturière, et elle le reste sur bien des cartes marines.

Le prix des routes droites, c’est l’honnêteté des surfaces. Comme l’échelle croît avec la latitude, les terres du Grand Nord enflent. Le Groenland paraît à peu près aussi grand que l’Afrique, alors que l’Afrique est environ quatorze fois plus vaste. La Scandinavie semble plus grande que l’Inde. L’Alaska paraît presque aussi grand que le Brésil, qui l’est environ cinq fois plus. Pour la navigation, rien de tout cela n’importait ; Mercator n’avait jamais conçu sa carte pour comparer des pays. Mais les cartes murales des écoles et des bureaux l’adoptèrent quand même, et des générations ont grandi avec une image du monde où l’Europe et l’Amérique du Nord dominent l’Afrique et l’Amérique du Sud.

Cette double nature explique pourquoi la projection revient sans cesse dans l’histoire des cartes. C’est une réponse brillante à une question et une réponse trompeuse à une autre. En 2005, Google en adopta une variante, le Web Mercator, pour ses cartes en ligne, parce que la conservation des formes et des angles locaux rend juste l’aspect des plans de rues quand on zoome. Le monde de nos téléphones reste, pour l’essentiel, celui de Mercator : parfait pour trouver son chemin, et discrètement faux sur la taille de toute chose.

La triangulation de la France par Cassini

En 1669, l’astronome Giovanni Domenico Cassini, futur Jean-Dominique, arriva de Bologne à Paris pour diriger le nouvel Observatoire de Louis XIV. Il était venu pour les étoiles ; il resta pour le sol. Lui, son fils, son petit-fils et son arrière-petit-fils allaient consacrer plus d’un siècle à faire de la France le premier pays cartographié par la mesure systématique, et leur nom devint celui de la carte.

La méthode était la triangulation. On ne peut pas mesurer à la chaîne la distance de Paris à Dunkerque, mais on peut mesurer très soigneusement une courte ligne. Si l’on vise ensuite un clocher lointain depuis chacune des extrémités de cette ligne et que l’on mesure les angles, une trigonométrie élémentaire donne la longueur des deux autres côtés du triangle. Chaque nouveau côté devient la base du triangle suivant, et une chaîne de triangles peut traverser tout un pays sans qu’on ait jamais à mesurer plus d’une ou deux distances sur le terrain. La première base, établie par Jean Picard en 1669 et 1670 sur la route rectiligne qui va de Villejuif à Juvisy, au sud de Paris, fut mesurée avec des règles de bois posées bout à bout.

Les premiers résultats furent une leçon d’humilité. Lorsque Picard et Philippe de La Hire utilisèrent des positions astronomiques pour corriger le contour de la France au début des années 1680, la côte atlantique recula vers l’est et le royaume rétrécit. Louis XIV se serait plaint que ses astronomes lui avaient coûté plus de territoire que ses ennemis. Le mot est sans doute apocryphe, mais le rétrécissement était bien réel.

Le deuxième Cassini, Jacques, prolongea une chaîne de triangles le long de la méridienne de Paris, de Dunkerque à Perpignan, et conclut de ses mesures que la Terre était légèrement allongée aux pôles. Newton avait soutenu le contraire, et les expéditions françaises en Laponie et au Pérou, dans les années 1730, lui donnèrent raison. Il revint au troisième Cassini, César-François Cassini de Thury, de mesurer à nouveau la méridienne, de corriger son père et de publier en 1744 le résultat : une carte de la France couverte d’un réseau de triangles, des chaînes courant du nord au sud et d’est en ouest, chaque station fixée.

Ce squelette rendit possible la grande carte. Louis XV, impressionné, dit-on, par les cartes de Cassini des campagnes de Flandre, ordonna le levé du royaume entier à l’échelle d’une ligne pour cent toises, soit 1/86 400. Quand l’argent royal se tarit en 1756, Cassini fonda une société de souscripteurs privés pour poursuivre l’entreprise. Les ingénieurs-géographes reportèrent chaque village, chaque route, chaque moulin et chaque gibet. Après la mort de Cassini de Thury en 1784, son fils Jean-Dominique prit la relève, jusqu’à ce que la Révolution confisque la carte au profit de l’État. Les quelque 180 feuilles furent enfin achevées au début du XIXe siècle.

Les conséquences dépassèrent largement la France. La triangulation devint la méthode standard pour mesurer les nations : l’Ordnance Survey britannique est née des travaux de William Roy, dont la base de Hounslow Heath, en 1784, lança un projet commun visant à relier les observatoires de Greenwich et de Paris. Dans les années 1790, Delambre et Méchain mesurèrent à nouveau la méridienne des Cassini, de Dunkerque à Barcelone, pour définir une nouvelle unité de longueur : le mètre. L’idée qu’un État doit se connaître avec précision, mesuré, quadrillé et archivé, commence avec un réseau de triangles tracé sur la France.

La carte géologique de William Smith

William Smith naquit en 1769 à Churchill, un village de l’Oxfordshire, fils d’un forgeron mort quand l’enfant était encore petit. Peu scolarisé, il apprit seul l’arpentage et trouva du travail, dans les années 1790, sur le Somerset Coal Canal, près de Bath. Creuser un canal est un bon moyen de voir l’intérieur d’une colline, et Smith regarda avec une grande attention. Dans les tranchées comme dans les mines de charbon en contrebas, les roches se présentaient en couches, et les couches se succédaient toujours dans le même ordre.

Plus encore, chaque couche avait ses propres fossiles. Un type de coquillage donné apparaissait dans un banc et nulle part ailleurs, de sorte qu’un fragment de pierre ramassé dans un champ pouvait indiquer à un œil exercé de quelle couche exacte il provenait. Cette idée, appelée aujourd’hui principe de succession faunique, permettait de suivre les strates à travers le pays même là où elles étaient cachées sous la terre et l’herbe. Smith se mit à parcourir l’Angleterre à pied, à cheval et en diligence, ramassant des fossiles, notant ce qu’il y avait sous chaque carrière et chaque puits, et reportant les limites sur des cartes.

En 1815, après une quinzaine d’années de travail, il publia le résultat : A Delineation of the Strata of England and Wales, with part of Scotland. Gravée par le cartographe londonien John Cary sur quinze feuilles à l’échelle de cinq milles au pouce, la carte assemblée mesurait bien plus de deux mètres de haut. Chaque exemplaire était colorié à la main. Des bandes de couleur balaient le pays du sud-ouest au nord-est : les vieux schistes du pays de Galles et du Nord, les terrains houillers, les marnes rouges, le lias bleu, l’oolithe dorée des Cotswolds et de Bath, les collines de craie et les argiles du bassin de Londres.

Le coloriage portait en outre une couche d’information astucieuse. Smith ombrait chaque formation plus fortement le long de sa base, le bord où elle repose sur le banc inférieur. Comme les strates anglaises s’inclinent doucement vers le sud-est, ces bords sombres coïncident avec les escarpements tournés vers le nord-ouest, et le lecteur voit d’un coup d’œil dans quel sens les couches plongent sous terre. À côté de la carte, ses coupes du pays de Galles à Londres montraient les mêmes couches empilées comme une pile de livres inclinée.

La reconnaissance fut lente à venir. Les gentlemen de la Société géologique de Londres se méfiaient d’un arpenteur autodidacte, et une carte rivale publiée sous l’égide de la Société emprunta largement à son travail. Les finances de Smith s’effondrèrent, et en 1819 il passa plusieurs semaines à la prison pour dettes du King’s Bench. Ce n’est qu’en 1831 que la Société lui décerna sa toute première médaille Wollaston, et Adam Sedgwick le qualifia de père de la géologie anglaise. Le livre que Simon Winchester lui a consacré porte un titre qui le décrit avec justesse : The Map That Changed the World, la carte qui changea le monde.

Le changement fut à la fois pratique et philosophique. Les cartes géologiques indiquaient aux constructeurs de canaux, aux ingénieurs ferroviaires et aux compagnies minières où l’on pouvait trouver du charbon, de la pierre à bâtir et de l’eau, et où l’on n’en trouverait pas. Elles montraient aussi que la Terre avait une histoire longue et ordonnée, écrite dans la roche. Quelques décennies plus tard, Charles Darwin allait s’appuyer précisément sur cette histoire. La carte de Smith rendait visible le temps profond, déployé en couleurs à travers tout un pays.

Le plan du métro de Londres de Beck

Au début des années 1930, le métro de Londres avait un problème de carte. Ses lignes avaient été construites par des compagnies privées rivales, et les plans officiels les montraient telles qu’elles couraient réellement : enchevêtrées au centre, puis dispersées à travers la banlieue. À l’échelle, les stations centrales s’entassaient en une tache tandis que les extrémités des lignes exigeaient d’immenses feuilles vides. Les dessinateurs précédents avaient tenté des astuces, comme supprimer les rues en fond de plan, mais les cartes restaient géographiques dans l’âme.

Harry Beck était un dessinateur industriel qui avait travaillé au bureau de la signalisation du métro, et en 1931, sur son temps libre, il esquissa une autre réponse. Un voyageur sous terre, raisonnait-il, se moque de la distance entre les stations ou des courbes des tunnels. Ce qui compte, c’est l’ordre des stations, les points de rencontre des lignes et les endroits où changer. Il se débarrassa donc presque entièrement de la géographie. Chaque ligne devint une suite de segments droits, uniquement horizontaux, verticaux ou à quarante-cinq degrés. Les stations furent espacées régulièrement, quelle que soit la distance réelle. Le centre surchargé fut agrandi et les banlieues tentaculaires resserrées, de sorte que tout le réseau tenait proprement sur une carte de poche.

Le seul élément du monde réel qu’il conserva fut la Tamise, elle-même redressée selon les mêmes angles, parce que les Londoniens pensent leur ville en termes de nord et de sud du fleuve. Les stations devinrent de petits traits nets sur les lignes, et les correspondances de petits symboles ouverts : des losanges dans les premières versions, puis des cercles. On dit souvent que Beck a emprunté l’aspect d’un schéma de circuit électrique. Que ce soit ou non sa source d’inspiration, la ressemblance est réelle : le plan montre des connexions, pas des positions.

Le service de la publicité le jugea trop radical et le refusa d’abord. Lorsqu’il fut enfin diffusé en janvier 1933, sous la forme d’un petit tirage d’essai, les voyageurs l’adoptèrent aussitôt, et des tirages bien plus importants suivirent. Beck passa des décennies à perfectionner son schéma, généralement pour des honoraires modestes, et fut blessé lorsque London Transport commença à publier, vers 1960, des versions dues à d’autres dessinateurs. Il mourut en 1974. Depuis quelques années, le plan porte une mention rappelant qu’il est issu de sa conception originale.

La véritable percée, c’était l’idée qu’une carte puisse être utile parce qu’elle est inexacte. Le schéma de Beck est une carte topologique : il conserve ce qui est relié à quoi, et dans quel ordre, tout en déformant librement distances et directions. Il répond à la vraie question du voyageur, comment aller d’ici à là, et laisse tomber le reste. Les effets secondaires sont célèbres. Certaines stations semblent éloignées alors qu’elles sont à deux pas l’une de l’autre, et des touristes prennent encore le métro entre des stations plus vite reliées à pied.

Presque tous les plans de transport du monde suivent aujourd’hui sa grammaire, de New York à Tokyo, de même que d’innombrables schémas de réseaux qui n’ont rien de ferroviaire : systèmes informatiques, chaînes d’approvisionnement et parodies imprimées sur des torchons. En 2006, un vote public organisé par la BBC et le Design Museum le classa deuxième, juste derrière le Concorde, parmi les créations préférées des Britanniques. Peu de dessins ont appris à autant de gens que l’image la plus claire d’un système peut ne lui ressembler en rien.

La carte des fonds océaniques de Marie Tharp

Au début des années 1950, le fond de l’océan était le plus vaste paysage non cartographié de la planète. Les marins y descendaient des lignes lestées depuis des siècles, mais chaque sondage ne donnait qu’une seule profondeur, et l’on imaginait les abysses comme une immense plaine de boue sans relief. Puis les échosondeurs, qui chronomètrent l’aller-retour d’une impulsion sonore jusqu’au fond, commencèrent à enregistrer des profils de profondeur continus le long de la route des navires. À l’observatoire géologique Lamont de l’université Columbia, sur l’Hudson, au nord de New York, la tâche de transformer ces lignes sinueuses en une image revint à Marie Tharp.

Tharp avait étudié la géologie et les mathématiques, mais les femmes n’étaient pas alors autorisées à embarquer sur les navires de recherche de Lamont ; elle travaillait donc sur les données que d’autres rapportaient. Son partenaire dans le projet était le géologue Bruce Heezen. En 1952, en reportant six longs profils à travers l’Atlantique Nord, elle remarqua une bizarrerie. Chacun d’eux franchissait la grande chaîne de montagnes qui court au milieu de l’océan, et dans chacun la crête de la chaîne était fendue par une profonde entaille en V. Alignées, ces entailles formaient une vallée continue courant au sommet de la dorsale.

Pour Tharp, cela ressemblait à un rift, le type de vallée qui se forme là où la croûte terrestre est en train de s’écarter. Cela plaidait en faveur de la dérive des continents, l’idée que les continents se déplacent, que la plupart des géologues américains rejetaient alors. Heezen aussi la rejeta d’abord ; Tharp racontera plus tard qu’il avait parlé de « bavardage de fille ». Ce qui le fit changer d’avis, ce fut un autre jeu de données. Les épicentres des séismes de l’Atlantique, reportés à la même échelle, tombaient précisément dans sa vallée. Une ligne de sol tremblant au milieu d’un océan s’expliquait mal si rien ne s’y passait.

La manière dont ils choisirent de la montrer compta autant que la découverte. En pleine guerre froide, les courbes bathymétriques détaillées du fond marin étaient sensibles, car les sous-marins s’en servaient. Heezen et Tharp dessinèrent donc un diagramme physiographique : une image du fond de l’océan comme si l’on avait vidé l’eau et que l’on regardait le paysage d’en haut et légèrement de côté, avec dorsales, canyons et plaines esquissés à la main. Leur diagramme de l’Atlantique Nord parut en 1957, et au cours des vingt années suivantes ils l’étendirent à tous les océans, révélant une dorsale médio-océanique qui fait le tour de la planète comme la couture d’une balle de baseball, décalée de loin en loin par des zones de fracture.

Les cartes arrivèrent au moment même où d’autres indices s’accumulaient. Harry Hess proposa l’expansion des fonds océaniques au début des années 1960, et les bandes magnétiques du plancher océanique montrèrent bientôt une croûte neuve se formant aux dorsales et s’en éloignant. À la fin de la décennie, la tectonique des plaques était devenue le fondement des sciences de la Terre. Le rift de Tharp était l’endroit où les plaques se séparent.

Leur œuvre la plus connue, The World Ocean Floor, peinte par l’artiste autrichien Heinrich Berann d’après leurs dessins, fut publiée en 1977, l’année de la mort de Heezen. Tharp vécut jusqu’en 2006 et reçut des honneurs tardifs, dont la reconnaissance de la Bibliothèque du Congrès, qui la compta parmi les grands cartographes du XXe siècle. Ses cartes montrèrent que le fond de la mer n’était pas une plaine morte mais le paysage le plus actif de la Terre, et qu’un dessin minutieux pouvait changer les convictions de toute une science.

La projection de Peters

En 1973, Arno Peters, historien allemand sans aucune formation de cartographe, tint à Bonn une conférence de presse pour dévoiler ce qu’il présentait comme une nouvelle carte du monde. Elle avait de quoi surprendre. L’Afrique et l’Amérique du Sud pendaient le long de la page comme de longues coulures de peinture, deux fois plus hautes que larges. L’Europe, trapue et petite, était remisée tout en haut. Le monde familier de Mercator, avec ses continents septentrionaux écrasants, était mis cul par-dessus tête, sinon dans l’orientation, du moins dans l’esprit.

L’argument de Peters était autant politique que géométrique. La projection de Mercator, disait-il, montrait depuis quatre siècles le monde d’un point de vue européen, gonflant le Nord riche et rapetissant le Sud plus pauvre. Sa carte, au contraire, conservait à chaque pays sa surface relative réelle. L’Afrique, environ quatorze fois plus grande que le Groenland et à peu près trois fois plus grande que l’Europe, en avait enfin l’air. Il qualifia le résultat de carte de l’égalité, et à l’époque de la décolonisation et des débats sur les inégalités mondiales, le message porta.

La géométrie n’avait rien de nouveau. Peters avait produit une projection cylindrique équivalente, une famille décrite pour la première fois par Johann Heinrich Lambert en 1772. La variante précise qu’il utilisait, avec des formes exactes seulement le long des parallèles de quarante-cinq degrés nord et sud, avait été présentée par un pasteur écossais, James Gall, en 1855. On l’appelle aujourd’hui généralement projection de Gall-Peters, pour rendre à Gall ce qui lui revient. Partout ailleurs que sur ces deux lignes, les formes sont déformées. Près de l’équateur, les pays sont étirés verticalement, d’où l’allure si longue de l’Afrique ; près des pôles, ils sont aplatis.

Les cartographes furent furieux, et pas seulement pour la question de l’antériorité. Ils firent valoir que des cartes du monde équivalentes existaient depuis des générations, que pratiquement aucun professionnel n’utilisait Mercator pour les cartes murales du monde, et que Peters avait troqué une déformation contre une autre tout en prétendant avoir aboli la déformation. Arthur Robinson, l’Américain auteur d’une projection de compromis très répandue, compta parmi ses critiques les plus acerbes. En 1989, plusieurs associations géographiques nord-américaines allèrent jusqu’à exhorter les éditeurs à renoncer à toute carte du monde rectangulaire.

Rien de tout cela ne freina la carte de Peters auprès du public. Églises, associations caritatives, agences d’aide au développement et écoles l’adoptèrent ; The Peters Atlas of the World suivit en 1989, et la carte devint un classique des salles de classe et des bureaux de la coopération. Elle apparut même dans un épisode d’À la Maison-Blanche, où un groupe fictif de cartographes pour l’égalité sociale met une réunion de la Maison-Blanche sens dessus dessous. En 2017, les écoles publiques de Boston l’adoptèrent pour leurs classes, une décision commentée dans le monde entier comme une leçon sur la manière dont les cartes façonnent la pensée des enfants.

L’importance durable de la projection de Peters tient au débat qu’elle a lancé plus qu’à la carte qu’elle proposait. Elle a obligé le grand public à remarquer que toute carte plane d’une Terre ronde ment forcément sur quelque chose : la surface, la forme, la distance ou la direction. Le navigateur veut Mercator ; un atlas de la population veut des surfaces équivalentes ; le globe de la salle de classe est ce qui approche le plus la vérité. Choisir une projection, c’est choisir ce qu’on montre et ce qu’on sacrifie, et depuis 1973 personne ne peut plus prétendre que ce choix est neutre.

Les épicycles de Ptolémée

Vers le milieu du IIe siècle, dans l’Alexandrie romaine, un savant nommé Claude Ptolémée se lança dans une entreprise qui paraît modeste et ne l’était pas : prédire où se trouverait chaque lumière errante du ciel, n’importe quelle nuit, des années à l’avance. Il en résulta un traité grec en treize livres que les traducteurs arabes appelèrent plus tard al-Majisti, « le très grand », et que l’Europe connut sous le nom d’Almageste. Ses figures ne sont pas jolies. Ce sont des lignes et des lettres, la géométrie de travail d’un homme qui fait ses calculs. Mais l’un des agencements qu’elles contiennent, un petit cercle porté par un grand, a tenu l’univers en place pendant bien plus de mille ans.

Le problème, c’étaient les planètes. Les étoiles tournent dans le ciel en bon ordre, mais Mars, Jupiter et Saturne dérivent lentement vers l’est par rapport à elles, puis s’arrêtent, reculent pendant des semaines, s’arrêtent de nouveau et reprennent leur route. La philosophie grecque exigeait que le mouvement céleste soit circulaire et uniforme, et que la Terre reste immobile au centre. Le mouvement rétrograde semblait narguer ces deux règles. La parade était antérieure à Ptolémée. Apollonios de Perga et Hipparque avaient déjà imaginé une planète se déplaçant sur un petit cercle, l’épicycle, dont le centre parcourt un cercle plus grand, le déférent. Vu de la Terre, ce double mouvement dessine des boucles, et ces boucles sont précisément les errances à rebours.

L’apport de Ptolémée fut de faire coller le dispositif aux chiffres. Il décala légèrement la Terre par rapport au centre du déférent. Puis il ajouta son invention la plus audacieuse, l’équant : un point situé de l’autre côté du centre, à la même distance que la Terre, depuis lequel le centre de l’épicycle semble tourner à vitesse constante. À strictement parler, cela violait la règle du mouvement circulaire uniforme, puisque l’épicycle accélère et ralentit désormais le long de sa course. Ptolémée accepta l’entorse parce qu’elle fonctionnait. Des astronomes ultérieurs, Copernic en tête, jugèrent l’équant contraire au bon goût.

Et cela fonctionnait. Avec ces outils et des tables d’observations anciennes, un astronome exercé pouvait calculer la position des planètes à un degré près environ, ce qui suffisait pour les calendriers, pour la navigation et surtout pour l’astrologie, à laquelle Ptolémée consacra aussi sa Tétrabible. L’Almageste contenait un catalogue d’un peu plus d’un millier d’étoiles réparties en quarante-huit constellations. Il fut traduit en arabe à Bagdad, critiqué et affiné par des astronomes du Caire à Maragha, puis mis en latin à Tolède au XIIe siècle. Pendant la plus grande partie de l’histoire de l’astronomie écrite, c’était l’astronomie, tout simplement.

Selon la version populaire, le système aurait fini par s’effondrer sous des épicycles empilés sur des épicycles. C’est en grande partie un mythe. Les modèles planétaires de Ptolémée comptaient un seul épicycle principal par planète, et les astronomes médiévaux ne passèrent pas leur temps à en rajouter. Ce qui finit par briser le système, ce ne fut pas l’encombrement mais une meilleure image : d’abord celle de Copernic, puis les ellipses de Kepler, qui se passaient d’équant parce que les planètes changent réellement de vitesse le long de leur orbite. Kepler montra en somme que l’entorse de Ptolémée pointait depuis le début vers la vérité.

L’héritage est à double tranchant. Le schéma de Ptolémée est le grand exemple d’un modèle qui prédit bien tout en décrivant mal, un avertissement que tout prévisionniste, tout économiste et tout ingénieur en apprentissage automatique a de bonnes raisons de garder en tête. C’est pourtant aussi un triomphe : la première tentative sérieuse de transformer le ciel entier en une géométrie calculable. Une épigramme attribuée à Ptolémée dit que, lorsqu’il suivait la course circulaire des astres, ses pieds ne touchaient plus la terre. Devant ses cercles, on comprend aisément pourquoi.

Le schéma héliocentrique de Copernic

Le schéma le plus lourd de conséquences de la Renaissance est à peine un schéma. Au début du premier livre du De revolutionibus orbium coelestium, imprimé à Nuremberg en 1543, figure une gravure sur bois faite de cercles concentriques avec un seul mot au milieu : Sol. Autour courent des anneaux numérotés assortis de brèves légendes latines. Mercure revient en quatre-vingts jours, Vénus en neuf mois, la Terre avec sa Lune en un an, Mars en deux ans, Jupiter en douze, Saturne en trente, et tout à l’extérieur se trouve la sphère immobile des étoiles fixes. On dirait une cible. En un sens, c’en était une.

Son auteur, Nicolas Copernic, était chanoine de la cathédrale de Frombork, en Prusse royale, juriste, médecin et administrateur qui faisait de l’astronomie à ses heures. Il avait esquissé son idée des décennies plus tôt dans un court manuscrit, aujourd’hui appelé Commentariolus, qui circula parmi ses amis à partir de 1514 environ. Puis il le garda pour lui, en partie par perfectionnisme et en partie, avouait-il, par crainte du ridicule. En 1539, un jeune mathématicien de Wittenberg, Georg Joachim Rheticus, vint étudier auprès de lui, resta deux ans et le convainquit de publier. Le manuscrit partit chez l’imprimeur nurembergeois Johannes Petreius. Copernic mourut en mai 1543 ; la tradition selon laquelle un exemplaire imprimé lui parvint sur son lit de mort est touchante et impossible à vérifier.

Ce que le schéma démontrait était élégant. Avec le Soleil au milieu, les boucles rétrogrades des planètes devenaient un effet de perspective : la Terre, sur une piste intérieure plus rapide, dépasse Mars, et Mars semble reculer, comme une voiture plus lente paraît glisser vers l’arrière quand on la double sur l’autoroute. Cet agencement fixait aussi l’ordre des planètes d’après leurs périodes et, en prenant la distance Terre-Soleil pour unité, donnait pour la première fois leurs distances relatives. Le système de Ptolémée en était incapable. Copernic tenait plus que tout à cette harmonie nette entre la taille d’une orbite et la durée d’une année.

C’est ici que la version populaire mérite d’être corrigée. La jolie gravure était l’idée, pas la machinerie. Copernic conservait des cercles parfaits ; pour rendre compte des observations, il avait donc encore besoin de petits épicycles, et ses modèles détaillés employaient à peu près autant de cercles que ceux de Ptolémée. Ses prédictions n’étaient pas nettement meilleures. Pire, une préface non signée du théologien luthérien Andreas Osiander prévenait le lecteur que tout cela n’était qu’une hypothèse commode pour le calcul, et non une affirmation sur la réalité. C’est Kepler qui révéla plus tard qui l’avait écrite.

Le livre ne déclencha pas de tollé immédiat. Les astronomes le lurent de près et en couvrirent les marges d’annotations, comme l’a montré l’historien Owen Gingerich en retrouvant des centaines d’exemplaires subsistants. Tycho Brahe proposa un compromis, avec les planètes tournant autour du Soleil et le Soleil autour de la Terre. Puis Kepler et Galilée prirent la gravure au pied de la lettre, et l’enjeu monta. En 1616, l’Église catholique mit le livre à l’Index des ouvrages interdits jusqu’à correction, et en 1633 Galilée fut jugé pour l’avoir défendu.

L’héritage le plus profond est une manière de penser. « Révolution copernicienne » est devenu le nom de tout basculement qui déloge l’observateur du centre : Kant l’employa pour sa philosophie, et l’on aligne volontiers Darwin et Freud derrière Copernic comme autant de nouveaux coups portés à la vanité humaine. La leçon du schéma, c’est que les mêmes données, dessinées autour d’un autre centre, peuvent soudain prendre sens. Copernic n’a rien ajouté au ciel. Il a seulement déplacé le point.

L’expérience du prisme de Newton

Avant Isaac Newton, presque tout le monde s’accordait à dire que la couleur était quelque chose que l’on faisait subir à la lumière. La lumière blanche du soleil était pure ; un prisme, une goutte de pluie ou un vitrail la teintaient ou l’affaiblissaient d’une manière ou d’une autre. Les arcs-en-ciel produits par les prismes étaient une curiosité de foire. Newton, jeune fellow du Trinity College de Cambridge, acheta un prisme au milieu des années 1660, à une foire locale selon la légende, et se mit à poser une autre question. Et si le prisme n’ajoutait pas de couleur du tout, mais la triait ?

Son dispositif était la simplicité même. Il obscurcit une pièce, perça un petit trou rond dans le volet de la fenêtre et laissa un unique rayon de soleil traverser un prisme jusqu’au mur d’en face. Selon les idées reçues, la tache colorée aurait dû être ronde, comme le trou. Elle était au contraire oblongue, environ cinq fois plus longue que large d’après Newton lui-même, rouge à un bout et violette à l’autre. Le faisceau s’était étalé. Ses différentes parties avaient été déviées plus ou moins fortement.

Vint alors l’expérience qu’il appela experimentum crucis, l’expérience cruciale, empruntant l’expression à Francis Bacon et à Robert Hooke. Il plaça juste après le premier prisme une planche percée d’un petit trou, de sorte qu’une seule couleur passe, puis une seconde planche percée plus loin pour en fixer la direction. Derrière, il disposa un second prisme. Si les prismes créaient la couleur, le second aurait dû la modifier à nouveau. Il n’en fit rien. Le rouge resta rouge, le vert resta vert, et chacun fut de nouveau dévié exactement de la quantité qui lui était propre. La conclusion de Newton fut sans appel : la lumière blanche est un mélange de rayons, chacun avec sa couleur fixe et son propre degré de « réfrangibilité ».

Il adressa ses résultats à la Royal Society dans une lettre publiée dans les Philosophical Transactions en février 1672, son premier article scientifique. Il dessina aussi l’expérience, et son croquis du faisceau, des planches et des prismes, conservé dans un manuscrit à Oxford, est l’ancêtre de tous les schémas de banc d’optique de tous les manuels scolaires. Il est frappant de voir combien il lui faut peu de chose : aucune équation, juste des lignes droites et deux triangles disposés de telle sorte que le résultat ne puisse se lire que d’une seule façon.

Tout le monde ne fut pas convaincu. Hooke, le redoutable curateur des expériences de la Société, critiqua vivement l’article, et des contradicteurs sur le continent peinèrent à reproduire le résultat avec des prismes de moindre qualité. Newton, qui détestait les querelles publiques, se retira et ne publia son compte rendu complet qu’en 1704, dans l’Opticks, l’année suivant la mort de Hooke. Il y nommait sept couleurs, en incluant délibérément l’orangé et l’indigo pour les faire correspondre aux sept notes de la gamme. Voilà pourquoi les écoliers récitent encore une suite où figure l’indigo, une couleur que peu d’entre eux sauraient reconnaître.

Les conséquences allèrent bien au-delà des arcs-en-ciel. Comme les lentilles dévient différemment les différentes couleurs, Newton en conclut que les lunettes astronomiques à réfraction donneraient toujours des images floues, et construisit à la place un télescope à miroir, une conception qui domine aujourd’hui la grande astronomie. Au siècle suivant, le spectre devint un instrument. En 1814, Joseph von Fraunhofer découvrit des raies sombres qui barraient les couleurs du Soleil, et en 1859 Gustav Kirchhoff et Robert Bunsen montrèrent que ces raies sont les empreintes digitales des éléments chimiques. Dès lors, la lumière d’une étoile pouvait révéler sa composition. Tout cela est né d’un trou dans un volet et d’un schéma qui laissait la lumière plaider elle-même sa cause.

Le boulet de canon de Newton

Certains des schémas les plus puissants sont des expériences de pensée que l’on peut dessiner. Le boulet de canon d’Isaac Newton est le meilleur d’entre eux. Il figure dans A Treatise of the System of the World, publié en anglais en 1728, l’année suivant la mort de Newton, bien qu’il en eût rédigé le texte en latin vers 1685, comme une version plus accessible de ce qui allait devenir le troisième livre de ses Principia. Il le remplaça par quelque chose de plus rébarbatif sur le plan mathématique, pour tenir les amateurs à distance, dit-on. La version simple a survécu, et avec elle une image qui a enseigné la gravitation à toutes les générations depuis.

La figure représente la Terre par un cercle, surmonté d’une montagne d’une hauteur absurde, dont le sommet dépasse l’atmosphère pour que rien ne freine un projectile. Depuis ce sommet, Newton imagine lancer une pierre à l’horizontale. Lancée doucement, elle s’incurve et retombe près du pied de la montagne. Lancée plus fort, elle tombe plus loin, puis plus loin encore, chaque trajectoire formant un arc plus long, repéré par des lettres autour du globe. Lancez-la assez fort, et le sol se dérobe sous la pierre exactement aussi vite qu’elle tombe vers lui. Elle ne retombe jamais. Elle fait tout le tour jusqu’au sommet de la montagne et poursuit sa course.

Voilà toute l’idée d’une orbite, et elle était saisissante. Depuis deux mille ans, à la suite d’Aristote, le ciel et la Terre obéissaient à des règles différentes. Sur Terre, les choses tombaient et s’arrêtaient ; dans le ciel, elles tournaient éternellement, faites d’une substance différente et parfaite. La montagne de Newton relie les deux mondes par une seule séquence continue. Il n’existe aucun point où la chute terrestre se change en révolution céleste. La Lune, soutenait-il, n’est qu’un boulet de canon très lointain : elle tombe toujours vers nous et nous manque toujours.

Il l’avait vérifié par le calcul. La Lune se trouve à environ soixante rayons terrestres, et si la gravitation s’affaiblit comme le carré de la distance, elle devrait tomber vers nous environ 3 600 fois plus doucement qu’une pomme à la surface. En comparant de combien la Lune s’écarte d’une ligne droite à chaque seconde avec la hauteur dont tombe une pomme, Newton trouva une bonne concordance. La force qui attire la pomme guide aussi la Lune. Tel est le vrai sens de la célèbre histoire de la pomme qui tombe, peut-être enjolivée.

Newton prenait soin de préciser que le canon était imaginaire. La vitesse nécessaire pour faire le tour du globe juste au-dessus du sol est d’environ 7,9 kilomètres par seconde, bien au-delà de toute arme de son temps, et la résistance de l’air ruinerait de toute façon le tir au niveau de la mer. Plus vite encore, la trajectoire s’étire en ellipse, et au-delà d’environ 11,2 kilomètres par seconde le projectile s’échappe pour de bon. Tout cela découle de la loi même qu’il utilisait pour son dessin.

Pendant plus de deux siècles, la montagne resta une image de salle de classe. Puis, le 4 octobre 1957, l’Union soviétique lança Spoutnik 1, une sphère polie hérissée d’antennes radio, et le boulet de Newton devint du matériel. Aujourd’hui, la Station spatiale internationale tombe autour de la planète environ toutes les quatre-vingt-dix minutes, à quelque 7,7 kilomètres par seconde, et son équipage est en apesanteur non parce que la gravité a disparu, mais parce qu’il tombe avec la station, exactement comme le schéma l’annonçait. Chaque satellite qui vous apporte une carte météo, une chaîne de télévision ou une position sur votre téléphone est une pierre lancée depuis la montagne de Newton.

Le dessin perdure parce qu’il fait ce que les équations seules ne peuvent pas faire. Il permet au lecteur de sentir la réponse avant de la calculer, et il abolit une frontière, entre le ciel et le sol, qui avait façonné la pensée humaine depuis l’Antiquité.

Le tableau périodique de Mendeleïev

Durant l’hiver 1869, Dmitri Mendeleïev, professeur de chimie à l’université de Saint-Pétersbourg, avait un problème pratique. Il rédigeait un manuel, les Principes de chimie, et avait besoin d’un ordre sensé pour décrire les soixante-trois éléments connus. Certaines familles sautaient aux yeux : le lithium, le sodium et le potassium étaient des métaux mous et violents ; le chlore, le brome et l’iode étaient âcres et réactifs. Mais personne n’avait trouvé de schéma unique qui les englobe tous. D’autres avaient essayé. À Londres, John Newlands avait proposé en 1865 une « loi des octaves » qui lui valut des moqueries, et en Allemagne Lothar Meyer travaillait au même moment sur un tableau similaire.

Les récits romantiques racontent que Mendeleïev écrivit chaque élément sur une carte et fit une réussite chimique jusqu’à ce que le motif apparaisse, ou que le tableau lui vint en rêve. Ces deux versions proviennent de souvenirs tardifs et sont difficiles à vérifier. Ce qui est certain, c’est que le 1er mars 1869, selon le calendrier actuel, il data une feuille imprimée intitulée « Essai d’un système des éléments fondé sur leur poids atomique et leur affinité chimique », qu’il envoya à des chimistes de toute l’Europe. Un article fut lu devant la Société russe de chimie plus tard dans le mois, en son absence.

Son agencement faisait deux choses à la fois. Le long d’une ligne, les éléments montent régulièrement en poids atomique. Le long d’une colonne, ils se rangent en familles à la chimie semblable : les métaux alcalins s’empilent, les halogènes s’empilent, et les valences se répètent selon un rythme. Le tableau est une grille dont les deux directions ont un sens, et c’est ce qui en fait un schéma plutôt qu’une liste. Dans sa version améliorée de 1871, il inscrivit huit groupes en haut, la disposition reprise ici.

La vraie audace résidait dans les cases vides. Là où le motif exigeait un élément que personne n’avait trouvé, Mendeleïev laissa un vide plutôt que de forcer l’élément connu suivant dans la mauvaise famille. Il marqua ces vides d’un point d’interrogation et d’un poids atomique prédit, et en 1871 il décrivit en détail trois éléments manquants, qu’il appela éka-bore, éka-aluminium et éka-silicium. Il fit aussi passer le motif avant le laboratoire : il plaça le tellure avant l’iode bien que son poids mesuré parût plus élevé, et corrigea les poids atomiques d’éléments comme le béryllium et l’uranium pour qu’ils s’y conforment.

La nature s’exécuta. En 1875, le chimiste français Paul-Émile Lecoq de Boisbaudran découvrit le gallium, qui correspondait à l’éka-aluminium. Quand sa densité mesurée se révéla plus faible que prévu, Mendeleïev écrivit que l’échantillon devait être impur ; il l’était, et la valeur corrigée concordait avec la sienne. Le scandium suivit en 1879, découvert par Lars Fredrik Nilson en Suède, puis le germanium en 1886, trouvé par Clemens Winkler en Allemagne, avec des propriétés étonnamment proches de celles de l’éka-silicium. Une théorie qui prédit ce que personne n’a encore vu est difficile à contester, et les chimistes cessèrent de la contester.

Le tableau plia sans rompre à mesure que la chimie progressait. Quand les gaz nobles furent découverts dans les années 1890, ils vinrent se loger dans une colonne entièrement nouvelle. En 1913, Henry Moseley montra que le véritable principe d’ordre était le numéro atomique, la charge du noyau, ce qui expliquait pourquoi le tellure se place avant l’iode. La mécanique quantique expliqua ensuite les lignes elles-mêmes comme des couches d’électrons. L’élément 101, synthétisé en 1955, fut baptisé mendélévium, et en 2019 l’UNESCO célébra les 150 ans du tableau.

Aujourd’hui, il est affiché dans toutes les salles de chimie du monde, probablement le schéma scientifique le plus exposé de tous les temps. Sa leçon discrète est qu’un schéma honnête doit montrer ce que l’on ignore. Les cases vides de Mendeleïev n’étaient pas des défauts du tableau. Elles étaient sa plus grande force.

Le cône de lumière de Minkowski

En 1905, Albert Einstein publia la relativité restreinte dans un article plein de trains, d’horloges et d’algèbre. Il y montrait que les mesures de temps et de longueur dépendent de la vitesse de l’observateur, et que la vitesse de la lumière est la même pour tous. C’était révolutionnaire et, pour bien des physiciens, profondément déroutant. Trois ans plus tard, son ancien professeur de mathématiques en fit une image.

Hermann Minkowski avait enseigné à Einstein à l’École polytechnique de Zurich et, de l’avis général, n’avait pas une haute opinion de lui comme étudiant. En 1908, il était professeur à Göttingen et, le 21 septembre, il s’adressa au congrès annuel des naturalistes et médecins allemands à Cologne. Sa conférence, Raum und Zeit, s’ouvrait sur l’une des phrases les plus célèbres de la physique : « Désormais, l’espace en soi et le temps en soi sont condamnés à s’évanouir en simples ombres, et seule une sorte d’union des deux conservera une réalité indépendante. »

Cette union, c’est l’espace-temps, et le moyen de la voir est de la dessiner. Placez l’espace sur l’axe horizontal, en écrasant trois dimensions en une seule, et le temps sur l’axe vertical. Choisissez des unités telles que la lumière parcoure une unité de distance par unité de temps, et chaque rayon lumineux devient une droite à 45 degrés. Chaque événement, un éclair, une poignée de main, une explosion, est un point unique. Chaque objet devient une ligne, sa ligne d’univers, qui indique où il se trouve à chaque instant. Une personne assise est une ligne verticale ; une personne qui court s’incline, mais jamais de plus de 45 degrés, car rien ne va plus vite que la lumière.

Choisissez maintenant un événement, ici et maintenant, et tracez les deux droites de lumière qui le traversent. Faites-les tourner en pensée autour de l’axe du temps, et elles balaient un double cône. Minkowski appelait la moitié supérieure le cône postérieur, Nachkegel, et la moitié inférieure le cône antérieur, Vorkegel ; les physiciens parlent aujourd’hui de cônes de lumière futur et passé. Tout ce qui se trouve dans le cône supérieur peut être atteint d’ici par quelque chose qui voyage à la vitesse de la lumière ou moins vite. Tout ce qui se trouve dans le cône inférieur a pu envoyer un signal qui nous parvient maintenant. Ce qui est hors des deux, les physiciens l’ont appelé l’ailleurs : des événements si éloignés dans l’espace et si proches dans le temps qu’aucune cause ne peut les relier à nous, dans un sens comme dans l’autre.

C’était plus qu’une jolie illustration. Le cône est le même pour tous les observateurs, quelle que soit leur vitesse : il saisit donc ce qui subsiste une fois que la relativité a brouillé les horloges et les règles de chacun. La simultanéité devient relative, mais l’ordre de la cause et de l’effet ne l’est pas, tant que rien ne franchit les parois du cône. Einstein fut, dit-on, peu impressionné au départ et vit dans ces mathématiques une érudition superflue. En quelques années, il changea d’avis, et sa théorie de la relativité générale de 1915 repose précisément sur cette géométrie quadridimensionnelle, désormais courbée par la masse.

Minkowski n’en vit rien. Il mourut d’une appendicite en janvier 1909, à 44 ans seulement, quelques mois après la conférence de Cologne.

Son diagramme devint l’outil standard de la relativité, enseigné à tous les étudiants en physique. Les physiciens inclinent les cônes de lumière près des trous noirs pour montrer pourquoi rien ne s’échappe d’un horizon des événements, et Roger Penrose a plus tard comprimé l’espace-temps tout entier en diagrammes finis fondés sur la même règle des 45 degrés. Au-delà de la physique, le cône de lumière est devenu une discrète image philosophique : une représentation des limites de l’influence. À chaque instant, il existe une région de l’univers sur laquelle vous pouvez encore agir, une région qui vous a façonné, et un immense ailleurs qui, pour l’heure, est tout simplement hors de portée.

Le diagramme de Hertzsprung-Russell

Au début du XXe siècle, les astronomes disposaient d’un ciel rempli de données et d’aucune histoire à raconter avec. À l’observatoire du Harvard College, une équipe de femmes, menée pour la classification par Annie Jump Cannon, triait des centaines de milliers de spectres stellaires en classes que l’on retient aujourd’hui sous les lettres O, B, A, F, G, K et M, des étoiles bleues et chaudes aux étoiles rouges et froides. Ailleurs, de patientes mesures de parallaxe donnaient la distance réelle de quelques centaines d’étoiles proches, et avec la distance venait la luminosité réelle. L’étape suivante allait de soi : rapprocher les deux. Il fallut deux personnes, travaillant chacune de son côté, pour la franchir.

La première fut Ejnar Hertzsprung, ingénieur chimiste danois devenu astronome autodidacte. En s’appuyant sur les notes spectrales d’Antonia Maury, une autre astronome de Harvard, il remarqua en 1905 et 1907 que les étoiles rouges se répartissaient en deux catégories nettement distinctes : des très brillantes et des très faibles, presque sans rien entre les deux. Il les nomma géantes et naines. En 1911, à Potsdam, il publia des graphiques de la couleur en fonction de l’éclat pour les amas des Pléiades et des Hyades, où la plupart des étoiles s’alignent le long d’une bande étroite.

La seconde fut Henry Norris Russell, à Princeton. En 1913, il présenta un diagramme portant la classe spectrale d’étoiles de distance connue en fonction de leur magnitude absolue, une mesure de l’éclat réel dans laquelle les plus petits nombres désignent les étoiles les plus brillantes. Publié en 1914, il montrait le même motif saisissant. La plupart des étoiles se situent sur une bande diagonale allant du bleu brillant en haut à gauche au rouge faible en bas à droite. Un groupe distinct de géantes rouges brillantes occupe le coin supérieur droit. Et dans le diagramme de Russell figurait un point gênant près du coin inférieur gauche : une étoile faible, 40 Eridani B, dont le spectre était de classe A, blanc et chaud. Elle aurait dû être brillante. Elle était si pâle qu’elle devait être minuscule. C’était la première naine blanche identifiée.

Russell lut d’abord le diagramme comme une séquence évolutive : les étoiles, suggérait-il, naissaient géantes rouges, se contractaient et s’échauffaient, puis glissaient le long de la diagonale en refroidissant. C’était une hypothèse raisonnable, et en grande partie fausse. La véritable explication exigeait la physique nucléaire. À la fin des années 1930, Hans Bethe et d’autres montrèrent comment les étoiles brillent en fusionnant l’hydrogène en hélium, et tout se mit en place. La bande diagonale, aujourd’hui appelée séquence principale, est l’endroit où les étoiles passent l’essentiel de leur vie à brûler tranquillement leur hydrogène ; la position d’une étoile sur cette bande dépend surtout de sa masse. Quand l’hydrogène du cœur vient à manquer, l’étoile enfle et se déplace vers le haut et vers la droite pour devenir une géante. Une étoile comme le Soleil finit par expulser ses couches externes et se contracter en naine blanche.

Le diagramme passa du catalogue à l’horloge. Dans un amas, toutes les étoiles se sont formées à peu près en même temps : le point où la séquence principale bifurque vers les géantes révèle donc l’âge de l’amas. Cette technique a fourni les premiers âges fiables des plus vieilles étoiles de la Galaxie. Le Soleil, étoile de type G2 d’une magnitude absolue d’environ +4,8, se situe sans éclat particulier au milieu de la bande, à peu près à mi-parcours de son séjour.

Aujourd’hui, le diagramme de Hertzsprung-Russell est l’une des premières figures qu’apprend tout étudiant en astronomie, et ses versions modernes sont à couper le souffle. En 2018, la mission Gaia de l’Agence spatiale européenne en a publié une construite à partir de millions d’étoiles, révélant une structure fine que Hertzsprung et Russell n’auraient jamais pu voir. La forme, pourtant, est la leur : deux axes rudimentaires, un nuage de points, et une diagonale cachée qui s’est révélée être l’histoire de la vie des étoiles.

Le modèle atomique de Bohr

En 1911, Ernest Rutherford avait montré à Manchester qu’un atome est essentiellement du vide, avec un noyau minuscule, lourd et positif, et des électrons légers quelque part autour. C’était un triomphe entaché d’un défaut fatal. Selon la physique de l’époque, un électron tournant autour d’un noyau devrait rayonner de l’énergie en continu, décrire une spirale vers l’intérieur et s’écraser en une fraction de seconde. À ce compte, les atomes ne devraient pas exister. Et pourtant, nous voilà.

Le jeune physicien danois Niels Bohr passa plusieurs mois de 1912 dans le laboratoire de Rutherford et rentra à Copenhague avec le problème. Sa réponse, publiée en 1913 dans une trilogie d’articles du Philosophical Magazine, était audacieuse. Il décréta tout simplement que les électrons ne peuvent occuper que certaines orbites permises, qu’il appela états stationnaires, et que tant qu’ils s’y trouvent, ils ne rayonnent pas du tout. Un électron peut sauter d’une orbite permise à une autre, et lorsqu’il tombe sur une orbite inférieure, il émet une seule bouffée de lumière dont la fréquence est fixée par la différence d’énergie, par l’intermédiaire de la constante de Max Planck.

La clé vint d’une vieille énigme. En 1885, un professeur suisse, Johann Balmer, avait trouvé une formule simple qui reproduisait les longueurs d’onde des raies visibles du spectre de l’hydrogène : une raie rouge, une bleu-vert et deux dans le violet. Personne ne savait pourquoi elle marchait. Bohr raconta plus tard qu’en voyant la formule de Balmer, tout lui était devenu clair. Dans son modèle, l’énergie de la n-ième orbite est proportionnelle à moins un sur n au carré, et le rayon croît comme n au carré. Les raies de Balmer n’étaient que des électrons tombant sur la deuxième orbite depuis la troisième, la quatrième, la cinquième et la sixième. À partir de la charge et de la masse de l’électron et de la constante de Planck, Bohr calcula la constante de la formule de Balmer, et elle concordait de près avec la valeur mesurée.

C’est cet accord qui poussa les physiciens à prendre au sérieux un ensemble de règles franchement arbitraires. Le modèle de Bohr expliquait aussi des raies spectrales de l’hélium ionisé qui intriguaient les astronomes, et il prédisait des raies ultraviolettes dues aux sauts vers l’orbite la plus basse, une série que Theodore Lyman avait commencé à mesurer. En 1922, Bohr reçut le prix Nobel de physique.

Le modèle était aussi manifestement incomplet. Il fonctionnait à merveille pour l’hydrogène et son unique électron, mais échouait pour l’hélium et tout ce qui est plus lourd, et ne disait rien de la raison pour laquelle certaines raies sont plus brillantes que d’autres. En 1925 et 1926, Werner Heisenberg, Erwin Schrödinger et d’autres le remplacèrent par une mécanique quantique complète, dans laquelle les électrons ne suivent plus du tout d’orbites mais occupent des nuages de probabilité. Les niveaux d’énergie de Bohr survécurent intacts. Ses jolies trajectoires circulaires, non.

L’image, elle, refusa de mourir. L’atome dessiné comme un noyau entouré d’électrons sur des anneaux, souvent des ellipses inclinées empruntées aux raffinements d’Arnold Sommerfeld, devint le logo universel de la science et de l’ère atomique, apposé sur des insignes d’agences, des manuels et des génériques de télévision. À strictement parler, il est faux. Mais il porte la seule idée qui comptait : l’énergie à l’intérieur d’un atome se présente par paliers fixes, et la lumière est ce qu’un atome émet en sautant de l’un à l’autre. Chaque laser, chaque LED et chaque enseigne au néon repose sur cette idée.

Le schéma de Bohr est une leçon sur la manière dont la science avance souvent : par un modèle qui n’est manifestement pas la vérité finale, mais qui en saisit juste assez pour montrer le chemin. Ses échelons sont devenus le fondement du monde quantique.

L’univers en expansion de Hubble

En 1920, les astronomes pouvaient encore débattre de bonne foi de la taille de l’univers. Lors d’un débat resté célèbre, en avril de cette année-là, Harlow Shapley et Heber Curtis s’opposèrent sur la question de savoir si les pâles nébuleuses spirales étaient des nuages situés dans notre Voie lactée ou des galaxies entières bien au-delà. Edwin Hubble trancha. Avec le télescope Hooker de 100 pouces du mont Wilson, alors le plus grand du monde, il découvrit en 1923 des étoiles variables céphéides dans la nébuleuse d’Andromède, et leur pulsation régulière lui donna une distance. Elle se situait bien au-delà des confins de la Voie lactée. Les spirales étaient des galaxies, et l’univers devenait soudain immense.

Un second indice, plus étrange, était déjà sur la table. Depuis 1912, Vesto Slipher, à l’observatoire Lowell en Arizona, mesurait les spectres des nébuleuses spirales et constatait que leurs raies étaient décalées. Quelques-unes, dont Andromède, étaient décalées vers le bleu, ce qui signifiait qu’elles approchaient. La plupart étaient décalées vers le rouge : elles s’éloignaient, certaines à des centaines de kilomètres par seconde. Pourquoi des galaxies fuiraient-elles loin de nous ?

En 1929, Hubble réunit les deux mesures sur un même graphique. Son court article dans les Proceedings of the National Academy of Sciences portait les vitesses de 24 nébuleuses, pour la plupart issues des travaux de Slipher, en fonction des estimations de distance de Hubble lui-même. Les points étaient dispersés, mais la tendance ne faisait aucun doute. Plus une galaxie était lointaine, plus elle s’éloignait vite, à peu près proportionnellement. Il traça une droite à travers les points, une autre à travers les moyennes de nébuleuses regroupées, et estima une pente d’environ 500 kilomètres par seconde par million de parsecs. Milton Humason, ancien muletier devenu l’un des observateurs les plus habiles du mont Wilson, poussa bientôt les mesures à des distances bien plus grandes, et la droite tint bon.

Hubble lui-même restait prudent sur la signification de ce résultat et parlait de vitesses apparentes. Mais la relation s’inscrit naturellement dans un univers en expansion, où chaque galaxie s’éloigne de toutes les autres à mesure que l’espace lui-même s’étire, comme les raisins secs d’une pâte qui lève. Einstein avait ajouté une constante cosmologique à ses équations pour maintenir l’univers statique ; lors de sa visite au mont Wilson en 1931, il accepta l’expansion. L’anecdote selon laquelle il aurait qualifié cette constante de « plus grande bêtise » de sa vie ne provient que des souvenirs tardifs de George Gamow et a peut-être été enjolivée.

Le mérite est plus enchevêtré que les manuels ne l’ont longtemps admis. En 1927, le prêtre et physicien belge Georges Lemaître avait déduit l’expansion des équations d’Einstein et estimé son taux à partir de données publiées, dans une revue belge peu lue. Quand l’article fut traduit en anglais en 1931, cette estimation fut omise, et l’on apprit plus tard que c’était le fait de Lemaître lui-même. En 2018, l’Union astronomique internationale recommanda de rebaptiser la relation loi de Hubble-Lemaître.

Les chiffres posaient aussi problème. Les distances de Hubble étaient trop petites d’un facteur sept environ, à cause d’une confusion sur l’éclat des différents types de céphéides qui ne fut démêlée que dans les années 1950. Sa pente abrupte impliquait un univers âgé d’environ deux milliards d’années, plus jeune que les roches de la Terre. Les mesures modernes situent la pente autour de 70 et l’âge de l’univers à environ 13,8 milliards d’années, même si des méthodes concurrentes divergent encore légèrement, une énigme connue sous le nom de tension de Hubble.

Remontez la droite de Hubble et toutes les galaxies convergent vers un même instant. C’est la racine du Big Bang. Un nuage de deux douzaines de points, dont certains mal placés, a fait de l’univers non plus une scène figée, mais quelque chose qui a une histoire.

Le diagramme de Feynman

À la fin des années 1940, la théorie quantique de la lumière et des électrons, l’électrodynamique quantique, était dans une situation embarrassante. Elle fonctionnait en première approximation, mais chaque tentative d’affiner ses prédictions produisait des résultats infinis. Puis, en 1947, Willis Lamb mesura un minuscule décalage des niveaux d’énergie de l’hydrogène que la théorie simple ne prévoyait pas, et la course fut lancée pour dompter les infinis et le calculer. Trois hommes y parvinrent de façon plus ou moins indépendante : Julian Schwinger à Harvard, Sin-Itiro Tomonaga à Tokyo, et un jeune professeur impétueux de Cornell nommé Richard Feynman.

La méthode de Schwinger était un tour de force de mathématiques formelles. Celle de Feynman ressemblait à des gribouillages. Quand il la présenta à une réunion d’élite de physiciens au Pocono Manor Inn en 1948, l’auditoire, où figuraient Niels Bohr, Edward Teller et Paul Dirac, resta perplexe et par moments hostile. Feynman dessinait de petites images de particules et semblait inventer les règles au fur et à mesure. Il fallut Freeman Dyson, un jeune physicien britannique qui avait longuement discuté avec Feynman comme avec Schwinger, pour démontrer en 1949 que les deux approches étaient mathématiquement identiques, et pour énoncer les règles permettant d’utiliser correctement les images.

L’article de Feynman lui-même, « Space-Time Approach to Quantum Electrodynamics », parut dans la Physical Review en 1949, et sa première figure est le diagramme redessiné ici. Le temps monte le long de la page et l’espace la traverse. Deux électrons, représentés par des droites fléchées, arrivent par le bas. En un point appelé vertex, l’un d’eux émet un photon, figuré par une ligne ondulée ; en un autre vertex, le second électron l’absorbe. Les électrons reculent et sortent par le haut, écartés l’un de l’autre. C’est la répulsion électrique, représentée comme l’échange d’une particule messagère.

Le génie tient à ce que l’image est aussi une recette. Chaque ligne correspond à un facteur mathématique précis décrivant la propagation d’une particule, et chaque vertex à un facteur décrivant l’intensité de l’interaction entre électrons et lumière. Dessinez tous les diagrammes possibles pour un processus, traduisez chacun en son terme, additionnez-les, et la réponse apparaît. Les diagrammes les plus simples contribuent le plus. Chaque paire de vertex supplémentaire, par exemple un photon qui se scinde brièvement en un électron et un positron avant qu’ils ne se rejoignent en boucle, réduit la contribution d’un facteur lié à la constante de structure fine, environ 1/137. Les physiciens peuvent donc calculer avec autant de précision qu’ils le souhaitent en dessinant des images de plus en plus complexes. Dans le formalisme de Feynman, un positron peut même se lire comme un électron qui remonte le temps, une idée suggérée auparavant par Ernst Stueckelberg et encouragée par le maître de Feynman, John Wheeler.

Les diagrammes se diffusèrent d’abord non par les manuels mais par les personnes. L’historien David Kaiser a retracé comment des chercheurs postdoctoraux qui les avaient appris auprès de Dyson à Princeton les emportèrent dans des universités d’Amérique, de Grande-Bretagne et du Japon. En une décennie, ils étaient partout, utilisés bien au-delà de l’électrodynamique. En 1965, Feynman, Schwinger et Tomonaga se partagèrent le prix Nobel de physique. Feynman fit plus tard peindre les diagrammes sur toute la carrosserie de son camping-car.

Leurs résultats ont été vérifiés avec une précision stupéfiante. La prédiction de l’intensité magnétique de l’électron, bâtie à partir de milliers de diagrammes de plus en plus complexes, concorde avec l’expérience à environ une partie sur mille milliards près, l’un des accords les plus précis entre théorie et mesure de toute la science. Les physiciens du Grand collisionneur de hadrons utilisent des programmes informatiques qui génèrent et évaluent des diagrammes par milliers, et la découverte du boson de Higgs en 2012 reposait sur de tels calculs.

Les diagrammes de Feynman sont peut-être l’exemple le plus pur du schéma comme argument. Ce ne sont pas des illustrations des mathématiques ; ce sont les mathématiques rendues visibles, si bien que l’intuition et le calcul suivent enfin les mêmes lignes.

Les planches de la Fabrica de Vésale

À l’été 1543, un imprimeur bâlois nommé Johannes Oporinus fit paraître l’un des livres les plus grands et les plus beaux du siècle. Son auteur, André Vésale, avait 28 ans et enseignait la chirurgie à Padoue ; son titre, De humani corporis fabrica, signifie « sur la fabrique du corps humain ». La même année, Copernic délogeait la Terre du centre de l’univers. Vésale mena une démolition plus discrète : il montra que la carte la plus respectée de l’intérieur du corps humain était, par endroits, la carte d’un singe.

Cette carte était celle de Galien, le médecin grec qui avait soigné des empereurs romains au IIe siècle. Galien était un observateur hors pair, mais il travaillait presque exclusivement sur des animaux, magots de Barbarie, porcs et bœufs, et en tirait des conclusions sur l’homme. Pendant quelque treize siècles, ses livres firent office de programme. Dans la leçon médiévale typique, un professeur lisait Galien à voix haute du haut de sa chaire tandis qu’en contrebas un barbier-chirurgien maniait le scalpel ; et lorsque le cadavre contredisait le texte, c’était en général le cadavre que l’on supposait dans l’erreur.

Vésale descendit de la chaire et prit lui-même le couteau, souvent sur les corps de condamnés exécutés. Ce qu’il trouva ne correspondait pas toujours au livre. La mâchoire inférieure de l’homme est un os unique, et non deux. Le rete mirabile, ce délicat réseau de vaisseaux sanguins que Galien plaçait à la base du cerveau, existe chez le bœuf et le mouton, mais pas chez l’homme. Chaque écart était minime ; ensemble, ils démontraient une chose considérable. L’autorité pouvait être vérifiée, et la façon de la vérifier était de regarder.

Regarder exigeait des images, et la Fabrica compte plus de deux cents gravures sur bois. Vésale n’a jamais nommé l’artiste. On a longtemps attribué les planches à Jan Steven van Calcar, un élève néerlandais du Titien, et la plupart des spécialistes les situent aujourd’hui quelque part dans l’entourage vénitien du maître. Les bois furent taillés à Venise puis transportés à travers les Alpes jusqu’à Bâle, où Oporinus les imprima avec un soin inhabituel. Les plus célèbres sont les « écorchés » : une suite de figures dépouillées couche après couche, campées dans des poses de statues antiques, l’une gesticulant, l’autre accoudée, une troisième si profondément disséquée qu’elle pend à une corde. Derrière elles se déroule un paysage unique. Mis bout à bout, les arrière-plans forment un seul panorama de collines et de bourgs, que l’on identifie souvent à la campagne des environs de Padoue.

En tant que schéma, chaque planche fonctionne à deux niveaux. La pose maintient la figure en vie, si bien que les muscles se lisent comme une machinerie en action plutôt que comme de la viande sur une dalle. Et chaque structure porte une petite lettre renvoyant à une explication dans le texte, de sorte que l’œil voyage de l’image au mot et retour. Lue dans l’ordre, la série est une dissection déployée dans le temps : d’abord la peau, puis les muscles superficiels, puis les profonds, jusqu’à ce qu’il ne reste que le squelette, pensivement appuyé sur une bêche ou accoudé à un tombeau pour méditer devant un crâne.

Le livre était trop cher pour la plupart des étudiants : Vésale publia donc la même année un mince Epitome, et les contrefacteurs firent le reste. En 1545, Thomas Geminus publia à Londres des copies des planches, et leurs versions circulèrent en Europe pendant des générations. Vésale devint médecin de l’empereur Charles Quint et mourut en 1564 sur l’île grecque de Zante, au retour d’un pèlerinage. Ses bois lui survécurent près de quatre siècles, jusqu’à leur destruction lors du bombardement de Munich en 1944.

Ce qui survécut, ce fut la méthode. Padoue devint le lieu où l’anatomie se regardait au lieu de se réciter, et la lignée de ses professeurs passa par Fallope et Fabrice d’Acquapendente jusqu’à un jeune Anglais nommé William Harvey. Les planches de la Fabrica firent une promesse que la médecine s’efforce de tenir depuis cinq siècles : que l’image du livre soit une image du corps, et que, lorsqu’ils se contredisent, ce soit le livre qui s’incline.

L’expérience des valvules de Harvey

Pendant quatorze siècles, les Européens instruits ont cru que le sang se comportait un peu comme une sauce. Dans le système de Galien, le foie le cuisait, frais, à partir des aliments digérés ; les veines le portaient vers la périphérie pour nourrir le corps, et le corps le consommait, comme une lampe brûle son huile. Un peu de sang suintait à travers des pores invisibles de la paroi du cœur pour se mêler à l’air venu des poumons. Rien ne tournait. Il n’y avait aucune raison de penser que cela dût tourner.

William Harvey avait appris l’anatomie à Padoue, où il obtint son diplôme de médecine en 1602 auprès de Fabrice d’Acquapendente. Fabrice avait fait une belle découverte : les veines sont munies de petits clapets qu’il appelait des « petites portes », les valvules. Il pensait qu’elles servaient à ralentir le sang pour éviter d’inonder les membres. Harvey, revenu à Londres comme médecin de l’hôpital Saint-Barthélemy, puis de Jacques Ier et de Charles Ier, ne cessait de se demander pourquoi une porte ne s’ouvrait que dans un sens.

Il consacra des années à la question, ouvrant des animaux vivants, observant les cœurs lents des anguilles, des serpents et des grenouilles, et il enseigna la circulation au Collège des médecins à partir de 1616 environ. En 1628, il publia sa démonstration dans un mince livre latin de 72 pages, Exercitatio anatomica de motu cordis et sanguinis in animalibus, imprimé à Francfort. Il ne contient qu’une seule planche, avec quatre petites figures d’avant-bras humain. Ces images étaient adaptées des travaux de Fabrice lui-même sur les valvules, ce qui en fait l’un des larcins intellectuels les plus courtois de l’histoire : l’image du maître servant à prouver ce que le maître n’avait pas vu.

Les figures montrent une expérience que chacun peut refaire. Serrez fermement un lien autour du haut du bras, assez pour retenir le sang des veines, mais pas au point d’arrêter les artères. Les veines situées en dessous gonflent, et l’on voit apparaître sur leur trajet de petits nœuds, que Harvey désigna par des lettres. Ce sont les valvules. Pressez maintenant du doigt la veine sous l’un de ces nœuds et chassez le sang vers le haut, vers le cœur, au-delà de la valvule suivante. Le segment ainsi vidé reste vide. Le sang ne peut redescendre à travers la valvule d’en haut, et tant que le doigt reste en place, rien ne peut arriver d’en bas. Levez le doigt : la veine se remplit aussitôt, depuis la main. Le sang veineux ne va que dans un sens : vers le cœur.

L’image constituait la moitié de la preuve. L’autre moitié était arithmétique. Harvey estima la quantité de sang que le cœur expulse à chaque battement et la multiplia par le nombre de battements ; même avec des chiffres volontairement prudents, le cœur déplaçait en une heure environ plus de sang que le corps tout entier n’en contient, et bien plus qu’aucun repas ne pouvait en fournir. Ce sang devait être le même, et faire le tour. Ce fut l’une des premières fois qu’une question de physiologie se trancha en partie par une opération de calcul.

Il restait une lacune. Harvey ne voyait pas comment le sang passait des plus petites artères aux plus petites veines, et il mourut en 1657 sans le savoir. En 1661, Marcello Malpighi, scrutant au microscope le poumon d’une grenouille, découvrit les capillaires qui bouclaient le circuit. À cette date, la circulation était largement admise, fût-ce à contrecœur. John Aubrey rapporte que la clientèle de Harvey souffrit de la parution du livre et que certains le tenaient pour un peu fêlé ; l’idée l’emporta malgré tout.

Ses conséquences ne se firent pas attendre. En quelques décennies, des médecins de la Royal Society expérimentaient l’injection de liquides dans les veines et la transfusion de sang d’un animal à l’autre. La médecine gagna l’idée du corps comme pompe et tuyauterie, mesurable et vérifiable, et le pouls devint la lecture d’un système plutôt qu’un mystérieux reflux. Tout cela repose sur quatre petits dessins d’un bras, d’un lien et d’un doigt.

Les règnes hiérarchisés de Linné

Au début du XVIIIe siècle, les naturalistes étaient submergés. Explorateurs, marchands et missionnaires expédiaient graines, peaux et spécimens dans l’alcool plus vite qu’on ne pouvait les décrire, et chaque nouvelle plante arrivait affublée d’un nom différent dans chaque pays. Une même espèce de rosier pouvait porter en latin une phrase descriptive d’une douzaine de mots, et deux botanistes pouvaient se disputer tout un après-midi avant de découvrir qu’ils parlaient de la même fleur.

Carl Linnaeus, fils de pasteur originaire de la province suédoise du Småland, que la postérité appelle Linné, voyait dans ce désordre une faute morale autant que pratique. La nature avait un ordre, pensait-il, parce que Dieu le lui avait donné, et la tâche du naturaliste était de le déchiffrer. En 1735, à 28 ans, venu aux Pays-Bas pour obtenir un diplôme de médecine, il publia à Leyde, avec l’aide d’admirateurs néerlandais, la première édition du Systema Naturae. C’était moins un livre qu’un ensemble d’immenses tableaux imprimés, quelques grandes feuilles que l’on pouvait épingler au mur.

Ces feuilles faisaient une chose d’une simplicité saisissante. Elles divisaient toute la nature en trois règnes, minéral, végétal et animal, puis chaque règne en classes, chaque classe en ordres, chaque ordre en genres et chaque genre en espèces. Chaque chose avait sa place, et chaque place son adresse. Le tableau des animaux s’étendait sur six colonnes : Quadrupedia, Aves, Amphibia, Pisces, Insecta, Vermes, c’est-à-dire les quadrupèdes, les oiseaux, les amphibiens et reptiles, les poissons, les insectes et les vers. Les baleines, à ce stade, figuraient parmi les poissons.

Le détail célèbre se trouve dans la première colonne. Parmi les quadrupèdes, dans un ordre que Linné nomma Anthropomorpha, les « en forme d’homme », il plaça côte à côte trois genres : Homo, Simia pour les singes et Bradypus, les paresseux. Là où les autres genres recevaient une description, Homo recevait une injonction : Nosce te ipsum, connais-toi toi-même. Ranger les humains dans un tableau avec les singes et les paresseux était provocateur dans les années 1730, et Linné le savait. Pour les plantes, il fit preuve de la même audace, les répartissant en classes selon le nombre de leurs étamines et de leurs pistils, un « système sexuel » que certains critiques jugèrent indécent. Lorsque le botaniste Johann Siegesbeck l’attaqua, Linné baptisa plus tard en son honneur une petite mauvaise herbe sans grâce, Siegesbeckia.

Le nom en deux mots, qui fait aujourd’hui la renommée du système, vint plus tard. Dans Species Plantarum en 1753, puis, pour les animaux, dans la dixième édition du Systema Naturae en 1758, Linné attribua à chaque espèce un court « nom trivial », si bien qu’un genre suivi d’un seul mot l’identifiait partout : Rosa canina, Canis lupus, Homo sapiens. Cette dixième édition créa aussi la classe des Mammalia et y fit entrer les baleines. Botanistes et zoologistes considèrent encore ces deux ouvrages comme les points de départ officiels de leurs noms.

Une grande partie de l’édifice a été reconstruite depuis. Le règne minéral a discrètement quitté la biologie, le système sexuel a été abandonné, et l’évolution a transformé les rangs, carte du dessein divin, en registre de la descendance. Mais l’architecture demeure. Chaque espèce décrite aujourd’hui, du ver des grands fonds à la bactérie, reçoit un binôme linnéen et une place dans une hiérarchie emboîtée, et un scientifique de Tokyo comme un autre de Lima peuvent la nommer sans traducteur.

Linné n’était pas modeste quant à son œuvre ; une devise qu’on lui attribue affirme que Dieu a créé et que Linné a classé. Il envoya ses étudiants, ses « apôtres », récolter aux quatre coins du monde, et l’un d’eux, Daniel Solander, embarqua sur l’Endeavour de Cook. Le tableau lui-même est l’argument qui dure : la déroutante diversité du vivant peut être classée, et un bon classement est le commencement de la science, non son aboutissement.

L’arbre « I think » de Darwin

À l’été 1837, Charles Darwin avait 28 ans ; il logeait en meublé sur Great Marlborough Street, à Londres, et se noyait agréablement dans ses spécimens. Le Beagle était rentré en octobre précédent après près de cinq années en mer, et sa cargaison de fossiles, d’oiseaux et de coléoptères était répartie entre les spécialistes. L’un d’eux, l’ornithologue John Gould, venait d’apprendre à Darwin que les moqueurs qu’il avait récoltés sur différentes îles des Galápagos n’étaient pas des variétés d’une même espèce, mais des espèces distinctes. Darwin ouvrit un nouveau carnet, l’étiqueta B, et commença à penser l’impensable sur l’origine des espèces.

La page 36 de ce carnet contient l’un des croquis les plus célèbres de la science, et il commence par un aveu. En haut à gauche, de son écriture lâche et pressée, Darwin a écrit deux mots : « I think », « je pense ». Puis il a cessé d’écrire et s’est mis à dessiner. Une courte tige s’élève d’un point qu’il a numéroté 1. Elle bifurque, puis bifurque encore, en un petit buisson broussailleux. Certaines brindilles se terminent par une petite barre transversale ; la plupart s’arrêtent net. Quatre extrémités portent des lettres capitales, A, B, C et D. En dessous, il a repris en prose, mais le dessin avait déjà dit l’essentiel.

Avant Darwin, l’image dominante du vivant était l’échelle, la grande chaîne des êtres, avec les créatures simples en bas, les humains près du sommet et les anges au-dessus. Les espèces étaient des barreaux fixes. Même ceux qui admettaient une forme de transformation, comme Jean-Baptiste Lamarck, se représentaient plutôt des lignées distinctes gravissant des échelles parallèles vers la complexité. Le croquis de Darwin n’a pas de sommet. Il a une racine et de nombreuses pointes, et aucune n’est plus haute qu’une autre.

Les barres transversales sont le coup de génie. Elles marquent les formes vivant aujourd’hui, tandis que les pointes sans barre sont des lignées éteintes. L’extinction, qui troublait les naturalistes comme une sorte d’échec dans une création parfaite, devenait une partie nécessaire du tableau : les lacunes entre les groupes vivants existent parce que les branches qui les reliaient ont été élaguées. Darwin l’explique sous le dessin : entre A et B s’ouvre un immense écart, entre B et C la gradation la plus fine, entre B et D une distinction plus grande. Ainsi, écrit-il, se formeraient les genres. La classification elle-même se révélait n’être que l’ombre de la généalogie. Les rangs de Linné n’étaient que le motif que l’on voit lorsqu’on regarde les extrémités d’un arbre sans en voir les branches.

Ce que le croquis ne contient pas, c’est un mécanisme. Darwin ne lut l’essai de Thomas Malthus sur la population, l’étincelle de la sélection naturelle, qu’à l’automne 1838, plus d’un an après. L’arbre vint d’abord, et l’explication de sa croissance ensuite. Puis il attendit. Il rassembla des preuves, éleva des pigeons, disséqua des bernacles pendant huit ans, et ne publia que lorsque la lettre d’Alfred Russel Wallace, en 1858, lui força la main.

Quand L’Origine des espèces parut enfin en novembre 1859, l’ouvrage ne contenait qu’une seule illustration : un dépliant de lignées ramifiées, tracées en pointillés qui s’évasent vers le haut à travers des bandes horizontales de temps. C’est une version plus nette, plus mathématique, du croquis du carnet, mais l’idée est celle que Darwin avait notée vingt-deux ans plus tôt.

Le carnet B a connu sa propre aventure. Lui et un carnet voisin disparurent de la bibliothèque de l’université de Cambridge vers 2000 et furent restitués anonymement en 2022, dans un sac cadeau rose accompagné d’un mot souhaitant de joyeuses Pâques à la bibliothécaire. La page compte aujourd’hui parmi les dessins les plus reproduits de la biologie, sur des affiches, des tasses et des couvertures de manuels. Ses deux mots hésitants sont la meilleure publicité jamais écrite pour la pensée sur papier.

Les planches du Gray’s Anatomy

En 1855, Henry Gray, 28 ans, chargé de cours d’anatomie à l’hôpital St George’s de Londres, eut l’idée d’un manuel. Les étudiants en médecine de l’époque achetaient des atlas coûteux ou plissaient les yeux sur de petites planches surchargées, où les structures étaient signalées par de minuscules lettres expliquées dans une légende reléguée ailleurs sur la page. Gray voulait un livre abordable, organisé pour l’étudiant qui prépare un examen ou une opération, et illustré presque à chaque page. Pour les images, il fit appel à un ancien élève, Henry Vandyke Carter, de quatre ans son cadet, dessinateur habile et fils de peintre.

Pendant environ dix-huit mois, les deux hommes disséquèrent ensemble dans la salle des morts de St George’s, sur des corps non réclamés mis à disposition en vertu de l’Anatomy Act de 1832. Carter dessinait directement ce qu’ils mettaient au jour, et ses dessins étaient taillés sur bois par des graveurs professionnels. La gravure sur bois avait un grand avantage sur la taille-douce : les blocs pouvaient être serrés dans la forme de l’imprimeur à côté des caractères, si bien que images et texte voisinaient sur la même page et s’imprimaient ensemble, à bas coût et en grand nombre.

Anatomy, Descriptive and Surgical parut en 1858 chez John W. Parker and Son, avec 363 figures. Son innovation décisive saute aux yeux. Au lieu de parsemer un dessin de lettres et d’obliger le lecteur à fouiller une légende, Carter inscrivit les noms directement sur les structures, en capitales nettes qui suivent la forme de chaque os ou de chaque muscle. Sur la vue latérale du crâne, le mot FRONTAL court sur le front, PARIETAL sur la voûte, TEMPORAL au-dessus de l’oreille. Les sutures où se rejoignent les plaques osseuses sont nommées le long de leurs propres lignes sinueuses. Même les noms victoriens, MALAR pour l’os de la pommette et INFERIOR MAXILLARY pour la mâchoire, se trouvent exactement là où le scalpel les rencontrerait.

L’économie paraît dérisoire jusqu’à ce qu’on la multiplie. Chaque aller-retour de l’œil entre l’image et la légende est une occasion de perdre le fil, et un étudiant qui apprend plusieurs centaines de structures en fait des milliers. La méthode de Carter les supprimait. Les dessins étaient en outre d’une sobriété inhabituelle : ni décor, ni pose spectaculaire, rien que des contours fermes, un ombrage mesuré et le nom. Après le théâtre de Vésale, c’était l’anatomie comme outil de travail, conçue pour une chambre éclairée à la bougie et un candidat anxieux à la veille de l’examen.

Le mérite ne fut pas également partagé. La page de titre affichait en bonne place « Henry Gray, F.R.S. » ; le nom de Carter figurait en dessous, en plus petits caractères, comme auteur des dessins. Carter fut payé pour son travail au lieu de partager le long succès du livre. Lorsque les premiers exemplaires se vendirent, il avait déjà embarqué pour l’Inde, où il devint professeur d’anatomie et de physiologie au Grant Medical College de Bombay et mena des recherches estimées sur la lèpre et sur le mycétome, une maladie fongique du pied. Gray eut moins de temps encore. En 1861, à 34 ans, il contracta la variole en soignant son neveu et mourut en quelques jours, alors qu’il préparait la deuxième édition.

Le livre leur survécut à tous deux, et de très loin. Au fil de dizaines d’éditions et de nombreux responsables, il devint simplement le Gray’s Anatomy, la bible des salles de dissection des deux côtés de l’Atlantique ; sa 42e édition a paru en 2020. Les gravures originales de Carter ont été peu à peu remplacées par de nouveaux dessins, puis par des photographies et des images d’imagerie médicale, mais le principe qu’il avait établi a été repris par presque tous les livres d’anatomie depuis, et par d’innombrables schémas hors de la médecine.

Cette célébrité comporte une petite ironie. Le livre porte le nom de Gray, et une série télévisée américaine se déroulant dans un hôpital l’a même emprunté pour un jeu de mots. L’idée qui dure, pourtant, appartient à l’illustrateur qui décida qu’une étiquette devait vivre sur la chose qu’elle nomme.

L’arbre de la vie de Haeckel

Ernst Haeckel lut L’Origine des espèces en 1860 et, de son propre aveu, ce livre changea sa vie. Jeune zoologiste à l’université d’Iéna, déjà célèbre chez les spécialistes pour ses dessins exquis de minuscules créatures marines appelées radiolaires, il devint le plus bruyant défenseur de Darwin en Allemagne. Le livre de Darwin ne contenait qu’un seul schéma abstrait de lignes ramifiées, avec des lettres en guise de noms. Haeckel entreprit de dessiner la chose réelle : l’arbre généalogique effectif de tous les êtres vivants, avec des noms sur les branches.

Le résultat parut en 1866 dans Generelle Morphologie der Organismen, un ouvrage foisonnant en deux volumes que Haeckel écrivit à une vitesse frénétique après la mort de sa jeune épouse. Parmi ses planches figure un arbre monophylétique des organismes, un arbre unique issu d’une racine unique. Tout en bas se trouvent les Monères, les êtres vivants les plus simples qui soient, que Haeckel se figurait comme de minuscules grumeaux de protoplasme sans structure. De cette racine commune partent trois grandes branches maîtresses : les plantes d’un côté, les animaux de l’autre, et au milieu un troisième règne qu’il nomma les Protistes, refuge des organismes unicellulaires qui refusaient d’être l’un ou l’autre.

Cette branche centrale constituait un vrai progrès. Les microscopistes peinaient depuis longtemps à décider si une créature qui nage comme un animal et pratique la photosynthèse comme une plante était l’un ou l’autre. La réponse de Haeckel était que la question était mal posée : il existait tout un règne du vivant antérieur à la séparation. La biologie moderne a maintes fois redessiné la base de l’arbre, bactéries, archées et champignons revendiquant chacun leur branche, mais l’habitude même de placer les microbes sur l’arbre lui doit beaucoup. Le même livre forgea les mots « phylum » et, plus célèbre encore, « écologie », pour désigner l’étude des relations entre les organismes et leur milieu.

Haeckel ne s’en tint pas à un seul arbre. Dans les années qui suivirent, il en produisit des dizaines, de plus en plus beaux et de plus en plus partiaux. Le plus fameux, la « Généalogie de l’homme » de son Anthropogenie de 1874, prend la forme d’un chêne noueux. Ses racines sont les Monères ; ses branches basses, les vers et les poissons ; plus haut viennent les reptiles et les mammifères, puis les singes ; et tout en haut de la cime, seul, se dresse l’Homme. C’est une image splendide, et trompeuse. L’évolution n’a pas de sommet. Une éponge actuelle est tout autant que l’homme le produit de centaines de millions d’années de descendance. En dessinant un tronc unique qui monte, Haeckel réintroduisit en contrebande la vieille échelle des êtres dans le buisson ramifié de Darwin.

Il n’était pas toujours scrupuleux non plus avec les preuves. Ses dessins d’embryons de vertébrés, censés montrer que poissons, poulets et humains se ressemblent presque à l’identique au début du développement, furent accusés d’exagération de son vivant même, et sa « loi biogénétique », selon laquelle le développement récapitule l’histoire évolutive, n’a pas survécu. Plus grave, ses arbres des races humaines classaient les peuples selon une hiérarchie, et ce type de classement alimenta certaines des pensées raciales les plus toxiques du siècle suivant.

L’influence de ces arbres est pourtant difficile à surestimer. Ils firent entrer l’évolution sur les murs des salles de classe, dans les livres de vulgarisation et dans l’imaginaire de toute une génération ; l’idée même que chaque organisme occupe une place dans une grande généalogie unique, que les biologistes reconstruisent aujourd’hui à partir de l’ADN, prit sa forme visuelle à Iéna. Ses Kunstformen der Natur, publiées en livraisons à partir de 1899, allèrent plus loin encore et inspirèrent les volutes de l’Art nouveau.

Les arbres de Haeckel offrent la leçon la plus claire de ce livre sur la façon dont une mise en page construit un argument. Placez la racine en bas et une seule espèce en haut, et l’image affirme ce que la science n’a jamais dit.

L’échiquier de Punnett

Gregor Mendel faisait ses calculs avec des pois. Pendant huit ans, dans le jardin du monastère de Brno, il cultiva des dizaines de milliers de plants, triant leur descendance selon la couleur, la forme et la taille, et constata que lorsqu’on croisait deux hybrides, la forme cachée, « récessive », réapparaissait chez environ un plant sur quatre. Il publia en 1866 dans les actes de la société d’histoire naturelle locale, et presque personne n’y prêta attention. En 1900, trois botanistes redécouvrirent indépendamment ses travaux, et les lois de Mendel devinrent l’idée la plus passionnante de la biologie.

À Cambridge, leur plus ardent défenseur était William Bateson, qui allait bientôt donner son nom à la nouvelle science : la génétique. Son plus proche collaborateur était un zoologiste plus jeune, Reginald Crundall Punnett, homme discret et précis, et joueur de cricket passionné. Ensemble, ils élevaient des pois de senteur et des volailles pour éprouver les règles de Mendel sur de nouvelles espèces, et chemin faisant ils rencontrèrent un problème pédagogique. Les rapports de Mendel étaient faciles à énoncer mais difficiles à expliquer, surtout lorsque plusieurs caractères entraient en jeu.

La solution de Punnett, imaginée vers 1905, fut un damier. Inscrivez les ovules possibles sur un côté et les grains de pollen possibles en haut. Chaque parent porteur d’une forme dominante, appelons-la A, et d’une forme récessive, a, produit deux sortes de gamètes en nombre égal. Remplissez chaque case avec la paire obtenue à l’intersection d’une ligne et d’une colonne. Pour un croisement Aa × Aa, il y a quatre cases : AA, Aa, aA et aa. Trois des quatre contiennent au moins un A : trois descendants sur quatre présentent donc le caractère dominant ; un seul est aa et présente le récessif. Le rapport 3 pour 1 de Mendel sort de la grille sans la moindre algèbre, de même que le rapport moins visible de 1 pour 2 pour 1 entre les types sous-jacents.

Sa vraie puissance apparut lorsque la grille s’agrandit. Suivez deux gènes à la fois, par exemple la couleur et la forme de la graine, et chaque parent produit quatre sortes de gamètes. Le damier passe à quatre sur quatre, seize cases, et leur décompte donne l’autre rapport célèbre de Mendel, 9 pour 3 pour 3 pour 1. Un tableau qu’il faudrait un paragraphe de probabilités pour justifier devient une chose qu’un élève peut remplir au crayon et vérifier d’un coup d’œil. Quand les cases ne donnaient pas le résultat prévu, c’était instructif aussi : les pois de senteur de Bateson et Punnett produisaient trop de combinaisons parentales, premier aperçu de ce qu’on appellerait la liaison génétique, des gènes qui voyagent ensemble sur le même chromosome.

L’échiquier de Punnett contribua aussi à l’un des résultats fondateurs de la génétique des populations. Vers 1908, il fut intrigué par la question d’un critique : si un caractère est dominant, pourquoi ne finit-il pas par envahir toute la population ? Il soumit le problème à son ami et partenaire de cricket, le mathématicien G. H. Hardy, qui montra rapidement qu’en l’absence d’autres pressions, les proportions de formes dominantes et récessives restent stables de génération en génération. Hardy publia le résultat dans une brève lettre à Science, le jugeant apparemment assez évident ; le médecin allemand Wilhelm Weinberg y parvint indépendamment la même année, et c’est aujourd’hui le principe de Hardy-Weinberg.

Punnett occupa plus tard la chaire de génétique de Cambridge et, avec Michael Pease, créa la poule Cambar, dont on pouvait sexer les poussins à la couleur de leur duvet dès l’éclosion, une petite révolution pour les aviculteurs. Mais son monument durable reste la grille. On la trace dans les salles de classe, lors des consultations de conseil génétique et au dos des enveloppes, chaque fois que quelqu’un demande quel risque court un enfant d’hériter de la maladie d’un parent.

L’échiquier a ses limites. Les caractères réels dépendent souvent de nombreux gènes, ainsi que de l’environnement, et ne se rangent pas sagement dans des cases. C’est précisément ce qui le rend si utile comme premier schéma : il rend le cas simple si limpide que tout ce qui est plus compliqué peut se lire comme un écart à ce modèle.

Le cycle de Krebs

En juin 1937, Hans Krebs envoya un court article à Nature. Quelques jours plus tard, il lui revint avec un mot poli : la revue avait assez de lettres pour remplir sa rubrique de correspondance pendant des semaines et lui suggérait de tenter sa chance ailleurs. Krebs l’adressa à la revue néerlandaise Enzymologia, où il parut la même année, cosigné par son étudiant William Arthur Johnson. Seize ans plus tard, ce travail lui valut un prix Nobel, et il aimait montrer la lettre de refus aux jeunes chercheurs comme preuve que les rédacteurs en chef ne sont pas infaillibles.

Krebs était arrivé en Angleterre en réfugié. Médecin et biochimiste juif, il avait été chassé de son poste à Fribourg-en-Brisgau après l’arrivée des nazis au pouvoir en 1933, avait trouvé une place à Cambridge, puis rejoint l’université de Sheffield en 1935. Il s’était déjà fait un nom grâce à un cycle : en 1932, avec Kurt Henseleit, il avait montré comment le foie transforme l’ammoniac en urée par une série de réactions en boucle. Cette expérience l’avait peut-être préparé à voir des boucles là où d’autres voyaient des lignes.

La question, dans les années 1930, était de savoir comment les cellules brûlent les aliments. Chacun connaissait le bilan global, sucre et oxygène à l’entrée, gaz carbonique et eau à la sortie, énergie libérée, mais pas le chemin. Plusieurs pièces étaient connues. À Budapest, Albert Szent-Györgyi avait découvert que de petites quantités de certains acides à quatre carbones, comme le succinate et le fumarate, faisaient consommer au muscle haché bien plus d’oxygène qu’elles ne pouvaient en expliquer elles-mêmes ; elles semblaient agir comme des catalyseurs. Des chimistes allemands avaient établi comment l’acide citrique pouvait être converti en α-cétoglutarate. Krebs et Johnson, travaillant sur du muscle pectoral de pigeon haché, l’un des tissus les plus énergétiques qui soient, ajoutèrent le chaînon manquant : le citrate se forme lorsque l’oxaloacétate s’unit à un fragment issu des aliments. L’acide à quatre carbones n’est pas consommé. Il revient au point de départ.

Le schéma qui en découle est l’un des plus redessinés de la biologie. Autour d’un cercle se placent les intermédiaires : citrate, cis-aconitate, isocitrate, α-cétoglutarate, succinate, fumarate, malate, oxaloacétate, et retour au citrate. Un fragment de combustible à deux carbones entre par le haut. En deux points de la roue, une molécule de gaz carbonique se dégage : c’est le gaz carbonique que nous expirons. En plusieurs autres, des atomes d’hydrogène sont arrachés et confiés à des molécules transporteuses. La roue elle-même sort intacte du voyage ; c’est une machine à démonter la nourriture et, comme toute bonne machine, elle finit là où elle a commencé.

Krebs ignorait l’identité exacte du fragment de combustible. En 1937, il parlait d’un « triose », un produit à trois carbones de la dégradation du sucre. Au cours des quinze années suivantes, Fritz Lipmann découvrit le coenzyme A et Feodor Lynen montra que le fragment entrant est l’acétyl-CoA, qui peut provenir aussi bien des sucres que des graisses ou des protéines. Le cycle devenait ainsi le foyer commun du métabolisme, le carrefour où se rejoignent tous les combustibles de l’organisme. Krebs et Lipmann partagèrent le prix Nobel de physiologie ou médecine en 1953.

Le cycle doit sa célébrité à tout ce qu’il explique. Les transporteurs d’hydrogène qu’il charge, le NADH et le FADH₂, transmettent leurs électrons le long d’une chaîne de protéines dans les mitochondries jusqu’à ce qu’ils rencontrent enfin l’oxygène et forment de l’eau, et ce flux alimente la synthèse de la majeure partie de l’ATP de la cellule. Les mêmes intermédiaires sont prélevés pour fabriquer des acides aminés et d’autres molécules : la roue est une usine autant qu’un fourneau. Elle tourne chez les plantes, les animaux, les champignons et de nombreuses bactéries.

Des générations d’étudiants l’ont maudit, appris grâce à des moyens mnémotechniques et oublié sitôt l’examen passé. Mais l’image d’une roue, plutôt que d’une chaîne de production, changea la façon de penser des biochimistes. Le métabolisme est plein de cycles, et un cycle est le schéma de quelque chose qui s’entretient soi-même : tout ce qui tourne finit par revenir.

La double hélice de l’ADN

La structure moléculaire la plus célèbre du XXe siècle fut annoncée sur une seule page de Nature, le 25 avril 1953, et son unique illustration fut l’œuvre d’une artiste. Odile Crick, l’épouse de Francis Crick, reprit la description de son mari et ses croquis sommaires pour en tirer une simple figure à la plume : deux rubans spiralant autour d’une ligne verticale, reliés par des tiges horizontales comme les barreaux d’une échelle tordue. Sa légende s’ouvre sur une modestie inhabituelle : « Cette figure est purement schématique. » Elle l’était, et elle était aussi parfaitement juste.

Le problème qu’elle résolvait se précisait depuis une décennie. Des expériences menées dans les années 1940 et au début des années 1950 avaient montré que l’ADN, et non les protéines, portait l’information héréditaire chez les bactéries et les virus, mais personne ne savait comment une substance chimique pouvait stocker des instructions et les recopier. Le chimiste Erwin Chargaff avait relevé une curieuse régularité : dans tout échantillon d’ADN, la quantité d’adénine est à peu près égale à celle de thymine, et la guanine à la cytosine. Linus Pauling, le plus grand chimiste structural vivant, travaillait sur la question en Californie et proposa au début de 1953 une structure à trois brins qui se révéla fausse.

À Cambridge, au laboratoire Cavendish, James Watson, un Américain de 24 ans, et Francis Crick, un physicien britannique de 36 ans qui achevait encore sa thèse, construisaient des modèles en fil de fer et en carton. La preuve décisive vint du King’s College de Londres, où Rosalind Franklin et son étudiant Raymond Gosling réalisaient des clichés de diffraction des rayons X de fibres d’ADN. L’un d’eux, pris en mai 1952 et connu plus tard sous le nom de Photo 51, montre un motif de taches en forme de X très net : la signature d’une hélice. En janvier 1953, Maurice Wilkins, collègue et rival de Franklin, montra le cliché à Watson à l’insu de celle-ci. Crick vit aussi un rapport contenant les mesures de Franklin. Ensemble, ces éléments fixaient les dimensions auxquelles le modèle devait obéir : une période de 34 ångströms le long de l’axe, une largeur d’environ 20, et les squelettes sucre-phosphate à l’extérieur.

La dernière étape revint à Watson, fin février, avec des découpages en carton sur son bureau. Il comprit que l’adénine appariée à la thymine et la guanine appariée à la cytosine forment des paires exactement de même forme et de même largeur, qui s’ajusteraient parfaitement entre deux squelettes orientés en sens opposés. Les rapports de Chargaff prenaient soudain sens. Chaque barreau de l’échelle est l’une de deux sortes de paires, dix par tour complet, et chacun des brins contient toute l’information nécessaire pour reconstruire l’autre.

L’article le dit dans ce qui est peut-être la litote la plus célèbre de la science : « Il ne nous a pas échappé que l’appariement spécifique que nous avons postulé suggère immédiatement un mécanisme possible de copie du matériel génétique. » Ouvrez l’échelle comme une fermeture éclair, laissez chaque moitié recruter de nouveaux partenaires, et vous obtenez deux molécules identiques. En 1958, Matthew Meselson et Franklin Stahl montrèrent que l’ADN se réplique bel et bien ainsi. Le même numéro de Nature publiait des articles de l’équipe de Wilkins et de Franklin et Gosling, dont les données confortaient le modèle ; peu de lecteurs mesurèrent à quel point le modèle en avait dépendu.

Watson, Crick et Wilkins reçurent le prix Nobel en 1962. Franklin était morte d’un cancer de l’ovaire en 1958, à 37 ans, et le prix n’est pas décerné à titre posthume. Sa contribution, longtemps minimisée, notamment dans les mémoires de Watson parus en 1968, La Double Hélice, est aujourd’hui largement reconnue, et c’est à juste titre que la ligne des auteurs de ce schéma est encombrée.

Les deux rubans d’Odile devinrent l’emblème de la biologie moderne : sur les couvertures de manuels, les logos d’entreprises, les sculptures et les t-shirts. Derrière l’emblème se trouvent le code génétique, le séquençage de l’ADN, le Projet génome humain, les empreintes génétiques et l’édition du génome. Tout découle d’une forme qui, une fois dessinée, s’expliquait d’elle-même.

Le dogme central de Crick

En septembre 1957, Francis Crick donna une conférence à l’University College de Londres, devant un symposium de la Society for Experimental Biology. Publiée l’année suivante sous le titre « On Protein Synthesis », c’est l’un des articles les plus influents de la biologie, et il est presque entièrement spéculatif. Quatre ans après la double hélice, personne ne savait comment la séquence des bases de l’ADN se traduisait en séquence d’acides aminés dans une protéine. Crick entreprit d’exposer, dans les termes les plus simples possible, à quoi devait ressembler la réponse.

Il fit deux propositions. La première, l’« hypothèse de la séquence », voulait que l’ordre des bases d’un segment d’acide nucléique détermine simplement l’ordre des acides aminés d’une protéine, et que cet ordre suffise à fixer la façon dont la protéine se replie. La seconde, il l’appela le « dogme central ». Selon ses mots : « une fois que l’“information” est passée dans la protéine, elle ne peut plus en ressortir. » L’information peut circuler d’acide nucléique à acide nucléique, et d’acide nucléique à protéine, mais jamais de la protéine vers l’acide nucléique ou vers la séquence d’une autre protéine.

Le choix du mot causa des ennuis pendant des décennies. Crick reconnut plus tard qu’il croyait qu’un dogme désignait une idée sans preuve raisonnable, une hypothèse audacieuse plutôt qu’un article de foi. Beaucoup de lecteurs le prirent au sens religieux, comme une vérité à accepter sans discussion, et certains critiques se plaignirent que la biologie se soit dotée d’un credo. Crick voulait dire presque le contraire : voici une affirmation forte, allez la mettre à l’épreuve.

L’image mit un certain temps à se fixer. Dans des notes privées de 1956, Crick avait esquissé les voies possibles sous forme de flèches entre ADN, ARN et protéine. Les manuels réduisirent vite l’idée à un slogan, l’ADN fait l’ARN qui fait la protéine, dessiné comme trois cases alignées, et c’est sous cette forme qu’elle gagna toutes les salles de classe. Puis, en 1970, Howard Temin et David Baltimore découvrirent indépendamment la transcriptase inverse, une enzyme de certains virus tumoraux qui recopie l’ARN en ADN. Un article d’actualité de Nature annonça que le dogme central avait été renversé. Crick répondit la même année par un article intitulé « Central dogma of molecular biology », accompagné cette fois d’un vrai schéma.

C’est lui qui est redessiné ici. ADN, ARN et protéine occupent les sommets d’un triangle. Des flèches pleines marquent les transferts « généraux », qui ont lieu dans toutes les cellules : l’ADN se copie lui-même, l’ADN est transcrit en ARN, l’ARN est traduit en protéine. Des flèches en pointillés marquent les transferts « spéciaux », observés seulement dans des circonstances particulières : l’ARN qui se copie lui-même chez les virus à ARN, l’ARN recopié en ADN par la transcriptase inverse, et l’ADN lu directement en protéine, ce qu’on n’avait obtenu qu’en éprouvette. Et trois flèches manquent tout à fait. Rien ne sort de la protéine. La transcription inverse, souligna Crick, n’avait jamais été interdite ; le véritable dogme restait intact.

Il l’est largement resté. Les prions, ces protéines mal repliées responsables de la maladie de la vache folle, transmettent une forme et non une séquence, et ne violent pas réellement la règle. Entre-temps, les flèches ont organisé un demi-siècle de recherche : le code génétique qui relie l’ARN à la protéine fut déchiffré dans les années 1960, à commencer par l’expérience de Marshall Nirenberg et Heinrich Matthaei en 1961 ; la transcriptase inverse devint à la fois une cible des médicaments contre le VIH et un outil de laboratoire quotidien ; et les vaccins à ARN messager exploitent directement la flèche pleine qui va de l’ARN à la protéine.

Le dogme central est un bel exemple de schéma conçu comme un ensemble de paris. Sa valeur tient non seulement aux flèches que Crick a tracées, mais aussi à celles qu’il a mis les autres au défi de trouver. Dessinez le sens du flux dans votre domaine : l’expérience la plus intéressante est généralement celle qui tracerait une flèche en sens inverse.

La démonstration du moulin à vent d'Euclide

Quelque part à Alexandrie, vers 300 av. J.-C., un maître que nous ne connaissons que sous le nom d'Euclide rassembla la géométrie du monde grec en treize livres, qu'il intitula les Éléments. De l'homme lui-même, on ne sait presque rien. Ce qui nous reste, c'est une chaîne de définitions, d'axiomes et de propositions si étroitement liés qu'elle a servi de modèle à la pensée rigoureuse pendant plus de deux mille ans. Le premier livre monte sans relâche vers un unique sommet. La proposition 47 énonce que, dans un triangle rectangle, le carré construit sur le côté opposé à l'angle droit est égal aux carrés construits sur les deux côtés qui le forment.

Le fait lui-même était ancien bien avant Euclide. Dès 1800 av. J.-C. environ, des scribes babyloniens dressaient des listes de triplets de nombres entiers comme 3, 4 et 5, et la tradition grecque plus tardive attribua la découverte à Pythagore, bien qu'aucune démonstration de sa main ne nous soit parvenue et que cette attribution tienne peut-être davantage de la légende que de l'histoire. Ce qu'Euclide apporta, c'est une démonstration que chacun pouvait vérifier, et elle reposait tout entière sur une figure. Remarquons que son théorème parle de carrés, de vrais carrés tracés, dotés d'une aire, et non de nombres élevés à une puissance. L'algèbre viendra bien plus tard.

Une fois vue, la figure ne s'oublie pas. Un triangle rectangle trône au centre. Un carré pend à chacun de ses côtés : le plus grand tombe sous l'hypoténuse, les deux petits se dressent de biais vers l'extérieur, comme des oreilles. Une droite descend de l'angle droit à travers le grand carré et le coupe en deux rectangles. Puis quatre longues lignes fines traversent le dessin d'un coin à l'autre, et l'ensemble se met à ressembler à une voilure. Les élèves l'ont surnommée le moulin à vent ; dans certaines traditions, on l'appelle la chaise de la mariée.

La démonstration repose sur un tour de passe-passe parfaitement honnête. Prenons le triangle obtenu en joignant A au coin éloigné D du grand carré. Euclide montre qu'il est identique, en forme et en taille, au triangle obtenu en joignant F, un coin du petit carré, à C. L'un de ces triangles vaut exactement la moitié du rectangle de gauche ; l'autre, exactement la moitié du petit carré. Le petit carré et le rectangle sont donc égaux. On recommence de l'autre côté, on additionne les deux rectangles, et le grand carré est entièrement expliqué. Rien n'est mesuré. Tout est montré.

En 1847, un géomètre et mathématicien irlandais du nom d'Oliver Byrne publia les six premiers livres d'Euclide en remplaçant les lettres par des couleurs. Dans The First Six Books of the Elements of Euclid, imprimé à Londres par William Pickering, les triangles devinrent bleus, les carrés rouges et jaunes, et le lecteur suivait le raisonnement en associant des formes plutôt que des lettres. L'ouvrage coûtait cher, se vendit mal et les maîtres d'école victoriens l'ignorèrent. Il ressemble aujourd'hui à une prophétie de Mondrian et du Bauhaus, et ses fac-similés se vendent régulièrement à des lecteurs qui ne s'attendaient pas à aimer un livre de géométrie.

Le moulin à vent a changé le monde deux fois. Sur le plan pratique, ce résultat permet à l'arpenteur, au charpentier ou au navigateur de calculer une distance que personne ne peut parcourir à pied ; sous forme de coordonnées, il est devenu la formule de la distance qui sous-tend chaque projection cartographique, chaque position satellitaire et chaque jeu vidéo qui vérifie si deux objets se sont heurtés. Sur le plan intellectuel, il a fixé la norme de ce qu'est une preuve. Abraham Lincoln étudia les six premiers livres après son mandat au Congrès, pour apprendre, selon un témoignage, ce que démontrer veut vraiment dire. Peu de dessins ont porté un tel poids avec si peu de traits, ou convaincu tant de gens qu'une figure, construite avec assez de soin, peut ne laisser aucune place au doute.

Le triangle de Pascal

À l'été 1654, Blaise Pascal, prodige parisien de trente et un ans qui avait déjà construit une machine à calculer, entama une correspondance avec Pierre de Fermat, magistrat à Toulouse qui faisait des mathématiques pour son plaisir. Leur sujet était une énigme de joueurs, le problème des partis : si une partie de hasard est interrompue avant que quiconque ait gagné, comment partager équitablement les mises ? Les deux hommes le résolurent par des voies différentes et, ce faisant, fondèrent le calcul des probabilités. La voie de Pascal passait par un tableau de nombres.

Il en fit la même année le Traité du triangle arithmétique, qui ne fut pourtant imprimé qu'en 1665, trois ans après sa mort. La version de Pascal ne ressemblait pas tout à fait à la pyramide des manuels modernes. Il dessinait une grille carrée, avec des 1 tout le long de la première ligne et de la première colonne, chacune des autres cases contenant la somme de la case située au-dessus et de celle située à sa gauche. Inclinez cette grille de quarante-cinq degrés et vous obtenez le triangle familier, où chaque nombre est la somme des deux nombres placés juste au-dessus.

Pascal ne l'a pas découvert, et il ne l'a jamais prétendu. Le motif apparaît dans des écrits indiens sur la métrique poétique, où compter les façons de combiner syllabes longues et brèves y conduit tout droit ; le commentateur Halayudha l'a décrit clairement au Xe siècle. En Perse, al-Karaji puis Omar Khayyam s'en servirent pour développer les puissances d'une somme. En Chine, il figure dans l'œuvre de Jia Xian au XIe siècle, fut conservé par Yang Hui en 1261 et magnifiquement dessiné par Zhu Shijie en 1303, avec des bâtonnets en guise de chiffres, jusqu'à la huitième ligne. Les Italiens l'appellent encore le triangle de Tartaglia. Si le nom de Pascal s'est imposé, c'est qu'il en a tiré le plus : il en démontra méthodiquement les propriétés, au moyen d'un raisonnement aujourd'hui reconnu comme l'un des premiers emplois clairs de la récurrence mathématique.

Le génie du triangle, c'est qu'une règle toute bête produit un objet étonnamment subtil. La ligne quatre, lue de gauche à droite, donne 1, 4, 6, 4, 1 : les coefficients nécessaires pour développer la puissance quatrième de n'importe quelle somme, mais aussi le nombre de façons de choisir zéro, un, deux, trois ou quatre objets parmi quatre. C'est ce second sens dont Pascal avait besoin pour ses joueurs. Suivez les diagonales et apparaissent les entiers naturels, puis les nombres triangulaires, puis les nombres tétraédriques. Additionnez chaque ligne et vous obtenez les puissances de deux. Additionnez le long des diagonales peu inclinées et surgit la suite de Fibonacci. Grisez les nombres impairs et, à mesure que les lignes se multiplient, une fractale émerge : le motif de triangles emboîtés qui portera plus tard le nom de Wacław Sierpiński.

Ce que ce dessin a changé, c'est l'idée même que le hasard puisse se calculer. La correspondance de Pascal et Fermat a mené directement à l'espérance mathématique, aux mathématiques de l'assurance et à la statistique qui sous-tend chaque sondage d'opinion et chaque essai clinique. Isaac Newton, qui n'avait pas encore vingt-cinq ans, étendit le motif binomial aux puissances fractionnaires et négatives, une étape qui nourrit son calcul infinitésimal. Les pois de Gregor Mendel, se répartissant selon des rapports comme 1, 2, 1, n'étaient autres que la troisième ligne du triangle poussant dans le jardin d'un monastère.

Tout écolier qui a rempli le triangle a fait la même chose que Zhu Shijie et Pascal : partir d'un seul 1, suivre une seule règle, et regarder toute la combinatoire se déployer sur la page. Il reste la démonstration la plus économique des mathématiques que des instructions simples peuvent engendrer une profondeur sans limite.

Le plan cartésien

Une histoire très appréciée raconte que René Descartes, paressant au lit un matin, observa une mouche qui marchait au plafond et comprit qu'il pouvait fixer sa position par deux nombres : sa distance à un mur et sa distance à l'autre. L'anecdote est charmante, mais rien de sérieux ne l'atteste. Ce qui est certain, c'est qu'en 1637, à Leyde, Descartes publia son Discours de la méthode, accompagné de trois essais scientifiques destinés à illustrer sa méthode. Le troisième, La Géométrie, d'une centaine de pages, réunissait deux disciplines que l'on tenait séparées depuis les Grecs.

Avant Descartes, la géométrie étudiait les figures et l'algèbre manipulait des quantités inconnues, chacune avec ses spécialistes et ses démonstrations. Descartes vit qu'un problème de l'une pouvait se traduire dans l'autre. Choisissez une droite fixe, mesurez le long de celle-ci, puis mesurez en vous en écartant selon un angle fixe : tout point d'une courbe est alors décrit par un couple de longueurs. Une relation entre ces deux longueurs, une équation, capture la courbe entière. Un cercle devient une somme de carrés. Une droite devient une simple proportion. Le dur labeur de la géométrie pouvait être confié aux règles mécaniques de l'algèbre.

Il mit l'idée à l'épreuve sur une énigme classique, le problème de Pappus, qui demande le lieu des points dont les distances à plusieurs droites données sont dans un rapport fixe. Les Anciens n'en avaient résolu que des cas particuliers. Descartes produisit une méthode générale et, au passage, fixa des notations que nous employons encore : les premières lettres de l'alphabet, a, b et c, pour les quantités connues, et les dernières, x, y et z, pour les inconnues.

Le dessin que nous appelons aujourd'hui le plan cartésien, avec deux axes perpendiculaires se croisant en une origine et un quadrillage bien net, n'est pas tout à fait ce que Descartes traçait. Ses figures utilisaient en général une seule droite de référence, les distances étant mesurées selon un angle par rapport à elle, et il se méfiait des valeurs négatives, qu'il appelait racines fausses. Pierre de Fermat mit au point une méthode très semblable à la même époque et la fit circuler en manuscrit vers 1636, mais elle ne fut imprimée qu'après sa mort. L'image soignée à deux axes s'est formée au cours du siècle suivant, à mesure que Newton, Leibniz et d'autres la développaient, et le mot coordonnées lui-même vient de Leibniz.

Le plan fonctionne parce qu'il donne à chaque point une adresse et à chaque règle une forme. Écrivez un point, disons quatre vers la droite et trois vers le haut, et la figure et les nombres ne font plus qu'un. Écrivez une équation et vous voyez si elle monte, s'incurve ou se referme en boucle ; là où deux courbes se croisent, deux équations sont résolues à la fois. Les quatre quadrants enregistrent les signes, si bien que se trouver en arrière ou au-dessous de l'origine n'est plus qu'une affaire de signe moins.

Sans cette paire d'axes, pas de calcul infinitésimal tel que Newton et Leibniz l'ont bâti, puisqu'une dérivée est la pente d'une courbe tracée sur une telle grille. Pas non plus de courbe d'évolution, de nuage de points, de cellule de tableur ni de pixel d'écran, tous repérés par un couple de nombres. Les ingénieurs y modélisent des ponts, les économistes y tracent l'offre et la demande, et chaque enfant qui a dessiné un graphique à l'école s'en est servi. La grande philosophie de Descartes se discute désormais dans les séminaires. Ses axes, eux, ont tout simplement gagné, si complètement que la plupart des gens ne remarquent même plus qu'il a fallu les inventer.

Les ponts de Königsberg

Königsberg, le port prussien sur la Pregel, offrait un passe-temps qui ne coûtait rien. Le fleuve se divisait autour d'une île centrale, le Kneiphof, longeait de part et d'autre une seconde langue de terre à l'est, et découpait la ville en quatre morceaux reliés par sept ponts. Pouvait-on se promener dans la ville en franchissant chaque pont une fois et une seule ? Les habitants essayaient et échouaient, et la question voyagea. En 1736, elle était parvenue à Leonhard Euler, jeune mathématicien suisse de l'Académie de Saint-Pétersbourg, déjà en passe de devenir le mathématicien le plus prolifique de l'histoire.

La première réaction d'Euler, dans une lettre au maire de Dantzig, Carl Ehler, fut que l'énigme semblait avoir peu à voir avec les mathématiques, puisque la réponse n'exigeait ni calcul ni mesure. C'était justement là tout l'intérêt. Il présenta sa solution à l'Académie, et elle parut sous un titre latin annonçant un problème relevant de la géométrie de situation, expression empruntée à Leibniz pour désigner une mathématique où distances et angles ne comptent pas, seulement ce qui est relié à quoi.

Sa propre figure était encore une carte : un fleuve schématique, les quatre terres désignées par les lettres A, B, C et D, les ponts par les lettres a à g. La longueur des ponts, le plan des rues, la forme de l'île, tout cela était sans importance. Euler notait une promenade par une suite de majuscules, une pour chaque terre visitée, de sorte qu'un parcours franchissant sept ponts s'écrivait avec huit lettres. Puis il compta. L'île A touche cinq ponts, donc toute promenade les empruntant chacun une fois doit passer trois fois par A. B, C et D touchent chacun trois ponts, donc chacun doit apparaître deux fois. Trois plus deux plus deux plus deux font neuf lettres, une de plus que n'en peut contenir une promenade de sept ponts. La balade était impossible.

Il généralisa ensuite, et c'est cela qui transforma une devinette en théorie. Une terre touchée par un nombre impair de ponts doit être le point de départ ou d'arrivée de toute promenade de ce genre, car chaque arrivée exige un départ. Si plus de deux terres ont un nombre impair, aucune promenade n'existe donc. Königsberg en avait quatre. La réciproque complète, selon laquelle une promenade existe toujours lorsque les terres impaires sont au nombre de zéro ou deux et que le réseau est connexe, fut démontrée par Carl Hierholzer et publiée en 1873.

La célèbre image de quatre points reliés par sept lignes courbes n'est pas d'Euler. Ce dessin dépouillé, que l'on appelle aujourd'hui un graphe, n'apparut qu'à la fin du XIXe siècle, lorsque l'énigme devint un classique des livres de mathématiques récréatives. Pourtant, c'est exactement ce que le raisonnement d'Euler avait déjà produit : une carte dont on a effacé la géographie, ne laissant que des sommets, des arêtes et le nombre d'arêtes en chaque sommet, que les mathématiciens appellent son degré.

De cet effacement sont nées la théorie des graphes et, plus largement, la topologie, la mathématique des propriétés qui résistent à l'étirement et à la déformation. Les graphes modélisent aujourd'hui l'internet, les lignes aériennes, les réseaux électriques, les circuits, les réseaux sociaux et les molécules de la chimie, et chaque GPS qui calcule un itinéraire résout un lointain descendant du problème de Königsberg. La ville elle-même n'a pas eu cette chance. Lourdement bombardée pendant la Seconde Guerre mondiale, elle a été rebaptisée Kaliningrad, et seuls deux ou trois des ponts qu'a connus Euler subsistent sous une forme reconnaissable. Les ponts n'ont jamais été l'essentiel. L'idée que la forme d'un problème peut compter davantage que ses mesures leur a survécu à tous.

La courbe en cloche

Abraham de Moivre était un protestant français qui avait fui à Londres dans sa jeunesse après la révocation de l'édit de Nantes par Louis XIV. Malgré son amitié avec Isaac Newton et son élection à la Royal Society, il n'obtint jamais de poste universitaire et gagna sa vie comme précepteur et conseiller des joueurs et des assureurs, installé, dit-on, à une table du Slaughter's Coffee House, dans St Martin's Lane. Sa spécialité était la doctrine des chances, et l'un de ses problèmes était d'un ennui accablant : si l'on lance une pièce des centaines ou des milliers de fois, quelle est la probabilité que le nombre de piles tombe dans un intervalle donné ? Y répondre exactement obligeait à additionner d'énormes nombres binomiaux, les lignes du triangle de Pascal bien au-delà de toute patience.

Le 12 novembre 1733, de Moivre fit circuler un court article en latin montrant que, pour un grand nombre de lancers, ces sommes pouvaient être approchées par une seule fonction lisse. En langage moderne, il avait trouvé la courbe normale comme limite de la loi binomiale, avec l'aide de la constante racine carrée de deux pi, qu'il attribua à son ami James Stirling. Il reprit ce résultat dans les éditions ultérieures de The Doctrine of Chances. Il ne dessina pas, pour autant que l'œuvre conservée permette d'en juger, la cloche.

La seconde naissance de la courbe vint du ciel. En 1801, la planète naine Cérès, tout juste découverte, passa derrière le Soleil et les astronomes la perdirent. Carl Friedrich Gauss, alors âgé de vingt-quatre ans, prédit l'endroit où elle réapparaîtrait, et il avait raison. En 1809, dans Theoria motus, son traité sur le mouvement des corps célestes, il exposa sa méthode des moindres carrés et la justifia en supposant que les erreurs d'observation suivent exactement cette courbe. Pierre-Simon Laplace montra bientôt pourquoi une telle loi devait être si répandue : additionnez de nombreux petits effets indépendants et le total tend vers la cloche, quelle que soit l'allure de chacun d'eux. C'est le théorème central limite, et c'est la raison pour laquelle la courbe surgit partout.

La forme se lit aisément. Le sommet se trouve à la moyenne. La dispersion se mesure en écarts types, notés sigma, et les proportions sont fixes : environ 68 % de l'aire se situe à moins d'un sigma de la moyenne, environ 95 % à moins de deux, et environ 99,7 % à moins de trois. La courbe passe de la colline à la pente exactement à un sigma de part et d'autre du centre, et ses queues s'amincissent vite sans jamais tout à fait toucher zéro.

Au XIXe siècle, l'astronome belge Adolphe Quetelet retrouva la courbe dans les tours de poitrine de soldats écossais et bâtit une science sociale autour de l'homme moyen. Francis Galton construisit une planche à clous, la quinconce, au bas de laquelle des plombs tombant en pluie s'empilaient en cloche, et il fut de ceux qui popularisèrent le nom de loi normale. Plus tard au XXe siècle, la courbe fut imprimée, avec un portrait de Gauss, sur le billet allemand de dix marks.

La cloche a changé le monde en rendant l'erreur mesurable. Elle a donné à la science ses barres d'erreur et ses marges d'erreur, aux usines le contrôle statistique de la qualité, et aux psychologues une échelle sur laquelle les résultats de tests pouvaient être ramenés de force. Elle a aussi été mal employée. Bien des choses dans la vie, de la richesse aux krachs boursiers, ont des queues épaisses que la cloche sous-estime gravement, leçon réapprise à grands frais lors de la crise financière de 2008. La courbe décrit à merveille la somme de nombreuses petites causes. Pour tout le reste, elle est dangereuse.

Le plan d'Argand

Pendant plus de deux siècles, les mathématiciens se servirent de la racine carrée de moins un tout en s'en excusant. Gerolamo Cardano rencontra de telles quantités en 1545 en résolvant des équations du troisième degré et jugea l'affaire aussi subtile qu'inutile. Rafael Bombelli montra en 1572 que calculer avec elles pouvait aboutir à des réponses parfaitement réelles. Descartes leur donna le nom dédaigneux d'imaginaires. Elles fonctionnaient, mais personne ne savait dire ce qu'elles étaient. Un nombre devait être une quantité, une longueur, quelque chose qu'on peut montrer du doigt sur une droite, et aucun point de la droite n'a pour carré moins un.

La réponse, quand elle vint, consista à quitter la droite. En 1806, un habitant de Paris nommé Jean-Robert Argand, amateur d'origine suisse sans aucun poste académique, fit imprimer à ses frais un court Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques. Il n'y mit même pas son nom sur la page de titre. Son idée était simple. Tracez les nombres réels sur une droite horizontale, comme d'habitude. Tracez les nombres imaginaires sur une droite verticale passant par zéro. Tout nombre de la forme a plus b fois i devient alors un point, ou une flèche partant de l'origine, situé a unités vers la droite et b vers le haut.

Le bénéfice tient à l'allure que prennent les opérations. Additionner deux de ces nombres revient à mettre leurs flèches bout à bout. Les multiplier revient à multiplier leurs longueurs et à additionner leurs angles. Multiplier par i ajoute un angle droit : toute flèche pivote d'un quart de tour dans le sens inverse des aiguilles d'une montre sans changer de longueur. Faites-le deux fois et la flèche pointe dans la direction opposée, ce qui est précisément l'effet d'une multiplication par moins un. Donc i fois i égale moins un, et le mystère se dissipe. La racine carrée de moins un est tout simplement le nombre qui, appliqué deux fois, vous fait faire demi-tour.

Argand n'était pas le premier. Un arpenteur dano-norvégien, Caspar Wessel, avait présenté la même idée à l'Académie royale danoise en 1797, et elle avait été publiée en danois en 1799, langue où presque personne hors de Scandinavie ne la lut avant qu'une traduction française ne paraisse en 1897. L'essai d'Argand faillit disparaître lui aussi. Un exemplaire passa des mains d'Adrien-Marie Legendre à celles du mathématicien François Français, dont le frère Jacques publia l'idée en 1813 dans une grande revue en invitant l'auteur inconnu à se faire connaître. Argand se manifesta. En 1831, Gauss prêta à l'idée son autorité, et en allemand on parle souvent du plan de Gauss. Dans les salles de classe anglaises, il resta le diagramme d'Argand.

Une fois le plan établi, les nombres complexes cessèrent d'être une astuce pour devenir un outil. William Rowan Hamilton les reformula comme des couples de nombres réels, puis chercha une version à trois dimensions, ce qui le mena en 1843 aux quaternions, employés aujourd'hui pour faire pivoter les objets en infographie et les engins spatiaux. À la fin du XIXe siècle, Charles Proteus Steinmetz montra aux ingénieurs comment traiter les courants alternatifs comme des flèches tournant précisément dans ce plan, ce qui rendit praticable la conception des réseaux électriques.

Aujourd'hui, le plan d'Argand sous-tend le traitement du signal, la radio, la compression d'images, l'automatique et la mécanique quantique, dont l'équation fondamentale porte i inscrit en elle. Chaque appel téléphonique est décomposé en fréquences grâce à des mathématiques qui vivent dans ce plan. L'exploit d'Argand ne fut pas d'inventer un nouveau nombre. Ce fut de trouver l'endroit où un nombre ancien se tenait depuis toujours.

Le diagramme de Venn

John Venn était un homme de Cambridge jusqu'au bout des ongles : fellow de Gonville and Caius College, pasteur ordonné, historien de son université et logicien de l'espèce minutieuse et discrète. En juillet 1880, il publia dans le Philosophical Magazine un article au titre peu engageant, On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings. Il contenait le dessin qui figure aujourd'hui dans plus de salles de classe, de présentations d'entreprise et de plaisanteries en ligne que peut-être n'importe quel autre diagramme jamais conçu.

Des cercles avaient déjà servi en logique. Dans une série de lettres écrites au début des années 1760 à une princesse allemande et publiées à partir de 1768, Leonhard Euler expliquait les syllogismes en traçant un cercle à l'intérieur d'un autre pour « tous les A sont B », deux cercles séparés pour « aucun A n'est B », et des cercles qui se chevauchent pour « quelques ». Le problème, comme le fit remarquer Venn, est que la méthode d'Euler vous demande de dessiner ce que vous savez déjà. Si vous ignorez si deux classes se recoupent, il n'existe aucune manière honnête de les dessiner. La logique, de plus, avait évolué : l'algèbre de George Boole, en 1854, traitait les classes comme des symboles que l'on pouvait combiner, et Venn voulait une image qui lui corresponde.

Sa solution fut un changement de philosophie. Au lieu de dessiner les faits, dessiner d'abord toutes les possibilités. Trois cercles qui se chevauchent, x, y et z, divisent le plan en huit compartiments : les choses qui sont x et y et z, celles qui sont x et y mais pas z, et ainsi de suite, jusqu'à la région extérieure aux trois cercles, pour ce qui n'est rien de tout cela. Le diagramme n'affirme absolument rien tant qu'on ne commence pas à hachurer. Chaque prémisse indique alors quels compartiments sont vides, et on les hachure. Ce qui reste non hachuré constitue tout ce qui demeure possible dans l'univers du raisonnement.

Voyons-le à l'œuvre sur un vieux syllogisme. Aucun x n'est z : on hachure les deux compartiments où x et z se recoupent. Tout y est x : on hachure toute la partie de y qui se trouve hors de x. Regardons maintenant là où y rencontre z : ses deux compartiments sont devenus sombres. La conclusion, aucun y n'est z, n'a jamais été écrite. Elle apparaît d'elle-même. L'image a fait le raisonnement.

Venn connaissait les limites de sa méthode. Trois cercles donnent huit compartiments, mais quatre cercles ne peuvent montrer les seize combinaisons ; il proposa donc des ellipses pour quatre classes et reconnut qu'au-delà les dessins devenaient disgracieux. Un siècle plus tard, un fellow du même collège, le statisticien Anthony Edwards, imagina un moyen d'étendre le diagramme à un nombre quelconque d'ensembles, et le collège fit placer un diagramme de Venn à trois cercles dans un vitrail de son réfectoire. L'expression diagramme de Venn apparaissait déjà dans les imprimés au début du XXe siècle, bien que Venn lui-même ait pris soin de rendre hommage à Euler et à ses autres prédécesseurs.

Ce qui a changé le monde, c'est moins le syllogisme qu'une habitude d'esprit. Les diagrammes de Venn devinrent la manière standard d'enseigner la théorie des ensembles, surtout après que les mathématiques modernes des années 1960 les eurent introduits à l'école primaire. On s'en sert pour expliquer les recherches booléennes, les jointures de bases de données, les probabilités et la logique des circuits informatiques. Ce sont aussi les diagrammes les plus maltraités qui soient, dessinés comme une décoration avec une chute comique au milieu, là où rien ne se recoupe logiquement. Le vrai critère est celui de Venn : chaque région doit signifier quelque chose, et les régions vides doivent être montrées comme vides.

L'argument de la diagonale de Cantor

Georg Cantor passa presque toute sa carrière à l'université de Halle, établissement provincial respectable, loin des grands centres mathématiques qu'étaient Berlin et Göttingen, et c'est de là qu'il fit une chose que nombre de ses contemporains tenaient pour proche de la folie. Il prit l'infini, que les mathématiciens depuis Aristote traitaient comme une direction plutôt que comme une chose, et entreprit de le compter. Deux collections ont la même taille, soutenait-il, si l'on peut apparier leurs éléments un à un sans qu'il en reste aucun. Selon ce critère, les nombres pairs sont exactement aussi nombreux que tous les entiers, ce qui est étrange mais inoffensif. La vraie question était de savoir si tous les infinis étaient le même infini.

En 1874, Cantor prouva que non : les nombres réels, c'est-à-dire tous les points d'une droite, ne peuvent être mis en correspondance avec les entiers naturels. Mais cette première preuve était un raisonnement compliqué sur des intervalles emboîtés. En 1891, dans un bref article paru dans le premier volume de l'annuaire de la toute nouvelle Société mathématique allemande, dont il était le premier président, il en donna une seconde, si simple qu'on peut la tracer sur une serviette en papier. C'est l'argument de la diagonale, et il hante la logique depuis.

Cantor n'utilisait pas les nombres décimaux, contrairement à ce que racontent la plupart des récits. Il employait des suites infinies formées de deux symboles seulement, m et w. Supposons, disait-il, que quelqu'un prétende avoir dressé la liste de toutes ces suites : E1, E2, E3 et ainsi de suite à l'infini, chacune écrite sur une ligne. Descendons alors la diagonale de cette grille, en prenant le premier symbole de la première ligne, le deuxième symbole de la deuxième, le troisième de la troisième, et échangeons chacun d'eux, m contre w et w contre m. On obtient une nouvelle suite, qu'il appela E0.

E0 ne peut figurer nulle part dans la liste. Elle diffère de E1 au premier rang, de E2 au deuxième, de E3 au troisième, et de chaque ligne à l'endroit où celle-ci croise la diagonale. Quelle que soit la façon dont la liste a été établie, et quelle que soit sa longueur, elle a manqué au moins une suite. L'ensemble de toutes ces suites, et avec lui l'ensemble des nombres réels, est donc indénombrable : un infini strictement plus grand que l'infini du dénombrement. Le même argument, montra Cantor dans le même article, prouve que l'ensemble de toutes les parties d'une collection est toujours plus grand que la collection elle-même, si bien qu'il n'existe aucun infini qui soit le plus grand.

La réaction fut violente. Leopold Kronecker, à Berlin, convaincu que les mathématiques devaient reposer sur les seuls nombres entiers, combattit les travaux de Cantor et entrava sa carrière, et Cantor souffrit de graves dépressions à répétition. D'autres furent fascinés. En 1926, David Hilbert déclara que nul ne nous chassera du paradis que Cantor a créé pour nous.

La diagonale se révéla l'un des outils les plus puissants de la logique. Bertrand Russell en utilisa une version en 1901 pour découvrir un paradoxe au cœur de la théorie des ensembles. Kurt Gödel recourut à une construction diagonale en 1931 pour montrer que tout système cohérent d'arithmétique contient des énoncés vrais qu'il ne peut démontrer. Alan Turing s'en servit en 1936 pour prouver qu'aucun programme ne peut décider, en général, si un autre programme finira par s'arrêter, résultat qui a fixé des limites définitives à ce que peuvent faire les ordinateurs. Tous descendent d'une grille de m et de w et d'une ligne modifiée, et de l'audace de Cantor, qui supposa la liste complète pour construire ensuite la chose qu'elle devait forcément manquer.

L'attracteur papillon de Lorenz

Au cours de l'hiver 1961, Edward Lorenz, météorologue au Massachusetts Institute of Technology, voulut réexaminer une séquence de sa simulation du temps. Le modèle était une atmosphère jouet de douze variables, tournant sur un Royal McBee LGP-30, un ordinateur de la taille d'un bureau qui emplissait la pièce de bruit et de chaleur. Plutôt que de tout recommencer depuis le début, il saisit des valeurs relevées à mi-parcours d'une sortie imprimée antérieure et alla prendre un café. Quand il revint une heure plus tard, la nouvelle simulation avait suivi l'ancienne pendant un moment, puis s'en était écartée, puis avait complètement divergé, jusqu'à ce que les deux météos n'aient plus rien de commun.

L'ordinateur n'était pas en panne. L'imprimante avait arrondi les nombres à trois décimales : là où la machine avait stocké 0,506127, Lorenz avait tapé 0,506. Une différence d'environ un quatre-millième, bien inférieure à ce que pourrait espérer détecter n'importe quelle mesure météorologique réelle, avait grandi jusqu'à tout submerger. Si l'atmosphère réelle se comportait ainsi, la prévision à long terme n'était pas seulement difficile. Elle était impossible par principe.

Pour comprendre pourquoi, Lorenz réduisit encore le problème. Partant d'un modèle de convection, où le fluide chaud monte et le fluide froid descend, qu'étudiait son collègue Barry Saltzman, il le ramena à trois équations seulement, à trois variables x, y et z, avec trois nombres fixes qu'il choisit égaux à 10, 28 et 8/3. Rien n'y est aléatoire. Le point de départ une fois donné, l'avenir est fixé pour toujours. Pourtant, lorsqu'il suivit la solution dans le temps, elle ne se stabilisa jamais et ne se répéta jamais. En mars 1963, il publia le résultat dans le Journal of the Atmospheric Sciences sous le titre volontairement sobre de Deterministic Nonperiodic Flow.

Tracée en trois dimensions, la trajectoire dessine deux boucles semblables aux ailes d'un papillon ou aux verres d'un loup de carnaval. Elle s'enroule en spirale autour d'un centre, puis, sans prévenir, bondit pour tourner autour de l'autre, puis revient, quelques tours ici, une douzaine là, selon une séquence qui ressemble à s'y méprendre à un jeu de pile ou face. La trajectoire ne se recoupe jamais et ne se referme jamais, mais elle reste confinée à cette unique forme fantomatique, que des mathématiciens baptisèrent plus tard attracteur étrange. Les figures de Lorenz étaient des projections tracées point par point, des lignes dessinées par l'ordinateur sur des plans ; le papillon lustré est venu plus tard, avec les progrès du graphisme.

L'article fut lu par des météorologues puis largement oublié pendant une décennie, jusqu'à ce que les mathématiciens le découvrent. En 1971, David Ruelle et Floris Takens forgèrent l'expression attracteur étrange et, en 1975, Tien-Yien Li et James Yorke donnèrent son nom au domaine : le chaos. En 1972, Lorenz prononça à Washington une conférence dont le titre, choisi par l'organisateur de la séance, demandait si le battement d'ailes d'un papillon au Brésil pouvait déclencher une tornade au Texas. L'effet papillon est depuis une expression courante, aidée par l'heureux hasard qui veut que l'attracteur lui-même ressemble à un papillon. Que cette forme existe vraiment, et ne soit pas un artefact d'arrondi, ne fut démontré qu'en 2002, par le mathématicien Warwick Tucker, au moyen d'une preuve assistée par ordinateur.

Le dessin de Lorenz a changé la façon dont la science pense la prévision. Les centres météorologiques font aujourd'hui tourner des ensembles, des dizaines de prévisions issues de points de départ légèrement différents, et en expriment la dispersion sous forme de probabilités : voilà pourquoi votre bulletin annonce soixante-dix pour cent de risque de pluie. La théorie du chaos a renouvelé l'étude des battements du cœur, des orbites planétaires, des populations et de la turbulence. La leçon la plus profonde était la plus simple : un système peut obéir à des lois exactes et rester imprévisible, et les limites de la connaissance sont inscrites dans les équations elles-mêmes.

L'ensemble de Mandelbrot

Benoit Mandelbrot aimait se décrire comme un nomade par choix. Né à Varsovie en 1924, élevé en France, employé pendant l'essentiel de sa carrière au Thomas J. Watson Research Center d'IBM à Yorktown Heights, dans l'État de New York, il vagabonda entre l'économie, la linguistique, l'hydrologie et la physique, en cherchant partout la même chose : la rugosité. Dans un article de 1967, il demandait quelle est la longueur de la côte de la Grande-Bretagne, et répondait qu'elle dépend de la longueur de votre règle, croissant sans limite à mesure que la règle rétrécit. En 1975, il forgea un mot pour désigner les formes qui paraissent également compliquées à toutes les échelles. Il les appela fractales.

Les mathématiques qui sous-tendent son image la plus célèbre étaient plus anciennes. Vers 1918, les mathématiciens français Pierre Fatou et Gaston Julia étudièrent ce qui se passe quand on prend un nombre, qu'on lui applique une règle simple, puis qu'on l'applique de nouveau au résultat, encore et encore. Leurs résultats étaient profonds, mais ils n'avaient aucun moyen de les voir. Ils travaillaient avec une plume, du papier et leur imagination. Soixante ans plus tard, Mandelbrot avait des ordinateurs.

La règle est d'une brièveté presque absurde : prendre z, l'élever au carré, ajouter un nombre fixe c. Partir de z égal à zéro et recommencer. Pour certaines valeurs de c, les nombres restent petits à jamais ; pour d'autres, ils grandissent et filent vers l'infini. Choisissez c égal à moins un et la suite donne 0, moins un, 0, moins un, prisonnière d'une boucle. Choisissez c égal à un et elle donne 0, 1, 2, 5, 26, puis s'envole. L'ensemble de Mandelbrot est la collection de tous les points c du plan complexe, le plan d'Argand du chapitre trente-six, dont la suite reste bornée.

Selon son propre récit, Mandelbrot en vit pour la première fois une image reconnaissable le 1er mars 1980, sur de grossières sorties d'imprimante chez IBM où chaque point était un caractère imprimé. Cela ressemblait à un cœur dodu flanqué d'un disque sur sa gauche, entouré d'une poussière de petites taches, et il se demanda d'abord si ces taches étaient des saletés sur le papier ou des erreurs d'impression. Une meilleure résolution montra qu'elles étaient bien réelles : de minuscules copies de l'ensemble tout entier, reliées à lui par des filaments trop fins pour être imprimés. Il publia des images cette année-là dans un article des Annals of the New York Academy of Sciences. Deux mathématiciens, Robert Brooks et Peter Matelski, en avaient produit indépendamment une image grossière vers 1978, mais c'est Mandelbrot qui en saisit la portée. En 1982, Adrien Douady et John Hubbard démontrèrent que l'ensemble est connexe, d'un seul tenant malgré ses vrilles, et lui donnèrent son nom.

Son anatomie récompense la patience. Le grand corps en forme de cœur est la cardioïde principale, l'ensemble des points dont la suite se fixe sur une valeur unique. Le disque à sa gauche contient les points qui s'installent dans un cycle de deux étapes, comme moins un. De plus petits bourgeons poussent partout, chacun avec sa propre longueur de cycle, et le long de l'épine qui part vers la gauche se trouve un ensemble de Mandelbrot miniature, l'un d'une infinité. La frontière est si complexe que sa dimension a été démontrée en 1991 égale à deux : aussi rugueuse qu'une ligne puisse l'être.

L'ensemble gagna la culture populaire en août 1985, quand A. K. Dewdney montra aux lecteurs de Scientific American comment le tracer sur un ordinateur personnel. Il devint posters, pochettes d'albums et économiseurs d'écran, et l'emblème du chaos et de la complexité. La pensée fractale alla bien au-delà des posters : paysages de synthèse pour le cinéma, antennes fractales dans les téléphones portables, modèles des poumons, des vaisseaux sanguins et des côtes. La leçon de l'ensemble est celle de tout ce livre, condensée en quatre symboles. Une règle assez courte pour tenir sur un ongle peut dessiner une image que personne n'aura jamais fini d'explorer.

Le premier diagramme en barres de Playfair

William Playfair était un Écossais doué pour les idées et porté sur les combines, et en 1786 les premières accouchèrent d’une chose qui allait survivre à toutes les secondes. Dans The Commercial and Political Atlas, publié à Londres cette année-là, il entreprit de montrer le commerce de l’Angleterre non pas en colonnes de chiffres, mais en images. La plupart des planches étaient des graphiques linéaires, ancêtres de toutes les courbes boursières, qui suivaient importations et exportations au fil du XVIIIe siècle. Une planche se distinguait pourtant, et elle se distinguait parce que Playfair était à court de données.

Pour l’Écosse, il ne trouva de chiffres que pour une seule année, de Noël 1780 à Noël 1781. Un graphique linéaire a besoin du temps qui défile le long de son bord inférieur, et une année unique ne laisse rien à faire à une courbe. Playfair coucha donc le problème sur le flanc. Il énuméra les partenaires commerciaux de l’Écosse de haut en bas de la page et traça pour chacun une paire de barres horizontales, l’une pour les importations, l’autre pour les exportations, face à une échelle monétaire graduée. Irlande, Hollande, Russie, Antilles, Amérique : chaque partenaire devint une longueur, et chaque longueur pouvait se mesurer à toutes les autres d’un seul coup d’œil.

Cela paraît d’une évidence banale aujourd’hui, et c’est précisément là tout l’intérêt. Avant Playfair, un négociant qui comparait les échanges de l’Écosse avec la Norvège et avec la Hollande devait lire deux nombres, les garder en tête et faire lui-même la soustraction. Après Playfair, c’est l’œil qui calculait. La longueur est en effet la grandeur que l’être humain évalue avec le plus de justesse, bien mieux que la surface, l’angle ou la nuance, ce que les chercheurs en perception mesureraient avec soin deux siècles plus tard. Playfair l’avait simplement deviné, ou bien il était tombé dessus en improvisant.

Il savait à quoi l’avait préparé sa formation. Jeune homme, il avait été dessinateur pour James Watt aux ateliers de machines à vapeur Boulton & Watt de Birmingham, chargé de représenter des machines avec assez de précision pour que d’autres puissent les construire. Son frère aîné, John, était un mathématicien réputé d’Édimbourg. William reprit cette habitude d’ingénieur, dessiner les choses à l’échelle, et l’appliqua à l’argent, soutenant qu’un graphique pouvait donner en quelques minutes à un homme d’État débordé ce qu’un tableau ne lui livrerait qu’en plusieurs heures.

Ce n’était pas, il faut bien le dire, un personnage tout à fait fiable. La suite de sa carrière comprit une désastreuse affaire de terres de l’Ohio vendues à des émigrés français, une série d’entreprises ratées et des périodes de véritable misère. Il mourut en 1823, ses inventions graphiques largement ignorées en Grande-Bretagne, où les statisticiens préféraient leurs chiffres nets et sans illustration. L’idée survécut malgré tout, car une fois qu’un lecteur a vu un diagramme en barres, un tableau ne lui paraît plus jamais tout à fait pareil.

La modeste planche écossaise devint le schéma le plus copié de l’histoire. On le retrouve dans les cahiers d’écolier et les rapports annuels, dans les infographies des soirs d’élection et dans l’icône de batterie d’un téléphone. Ses descendants sont plus souvent dessinés à la verticale qu’à l’horizontale, et ils se sont dotés de quadrillages, de couleurs et parfois d’une troisième dimension que Playfair aurait eu raison de déplorer. Mais l’argument central reste le sien : quand il faut comparer des quantités, alignez-les sur une base commune et laissez parler leurs longueurs.

Il y a dans cette origine une ironie savoureuse. La forme de graphique la plus réussie jamais conçue fut un pis-aller, une manière de sauver une page pour laquelle les données adéquates n’existaient pas. Playfair n’y voyait qu’une solution de second choix.

Le diagramme circulaire de Playfair

Quinze ans après avoir inventé le diagramme en barres, William Playfair inventa le diagramme circulaire, et il le fit dans un livre au titre délibérément austère, The Statistical Breviary, publié à Londres en 1801. L’Europe était en guerre contre Napoléon, les cartes se redessinaient au fil des saisons, et Playfair voulait montrer d’un coup d’œil comment les grandes puissances se mesuraient les unes aux autres en territoire, en population et en argent.

Sa solution fut une rangée de cercles. Chaque État d’Europe en reçut un, et l’aire de chaque cercle représentait les terres que cet État contrôlait. L’Empire russe s’étalait sur la page en un disque énorme ; la Grande-Bretagne n’était à côté qu’une modeste pièce de monnaie. C’était déjà un pas audacieux, car l’œil juge une aire moins bien qu’une longueur, et Playfair semble l’avoir su. Il ajouta des aides. Un trait vertical s’élevant du bord gauche de chaque cercle indiquait sa population, un autre s’élevant du bord droit ses recettes fiscales. Une ligne pointillée reliait leurs sommets. Là où elle montait en flèche, une population modeste payait de lourds impôts ; là où elle descendait, les habitants étaient peu taxés. La ligne de la Grande-Bretagne s’envolait.

Puis vint la part. L’Empire ottoman s’étendait sur trois continents, et Playfair voulait que ses lecteurs voient comment son territoire se répartissait entre l’Europe, l’Asie et l’Afrique. Il découpa donc son cercle en secteurs colorés, chacun proportionnel à sa part. Ce cercle découpé est généralement reconnu comme le premier diagramme circulaire, même si personne ne l’appellerait ainsi avant un siècle. Les Français, plus poétiques, le surnomment camembert.

Il faut bien dire que le camembert a eu la vie dure depuis. Les statisticiens se plaignent depuis des décennies que nous jugeons mal les angles et les aires, et les expériences de perception menées par William Cleveland et Robert McGill dans les années 1980 leur ont fourni des données à l’appui. Edward Tufte est allé plus loin, écrivant que le seul graphique pire qu’un camembert, c’est plusieurs camemberts. Bien des présentations d’entreprise, avec leurs quatorze parts pastel inclinées en trois dimensions, lui ont donné raison.

Pourtant, le camembert survit à ses détracteurs, et l’original de Playfair montre pourquoi. Il l’employait pour une tâche précise : montrer les parties d’un tout unique, en petit nombre, lorsque la question portait sur la taille approximative de chaque part. Le lecteur qui regarde le cercle ottoman n’a pas besoin de savoir que l’Asie en représentait exactement telle fraction ; ce qui compte, c’est que l’empire était surtout asiatique, avec une épaule européenne et un coin africain. Pour cette question, le camembert répond instantanément, et il rappelle de lui-même que les parts totalisent cent pour cent, ce que ne fait pas un diagramme en barres.

Le reste de la page du Breviary est sans doute la réussite la plus raffinée. Cercles, deux échelles verticales et une pente combinent quatre grandeurs par pays sous une forme que l’on parcourt de gauche à droite. C’est une série de « petits multiples » avant que l’expression n’existe, et un cousin des graphiques à bulles qui remplissent aujourd’hui les rapports économiques.

Playfair mourut pauvre et largement ignoré, mais en un demi-siècle ses cercles avaient voyagé. La célèbre rose de Florence Nightingale est un camembert dont les parts croissent vers l’extérieur plutôt qu’en travers, et chaque anneau de progression sur l’écran d’un téléphone est une simple part du sien.

La carte du choléra de John Snow

Dans les derniers jours d’août 1854, le choléra explosa à Soho. En une dizaine de jours environ, plus de cinq cents personnes vivant à quelques centaines de mètres les unes des autres étaient mortes, beaucoup dans la journée qui suivit les premiers symptômes. Les boutiques fermèrent, les familles s’enfuirent, et les autorités accusèrent ce qu’elles avaient toujours accusé : le miasme, l’air vicié montant de la crasse londonienne.

John Snow ne croyait pas au miasme. Médecin né dans le Yorkshire, surtout connu comme pionnier de l’anesthésie, il avait administré du chloroforme à la reine Victoria lors de la naissance du prince Léopold l’année précédente. Depuis 1849, il soutenait que le choléra se transmettait par l’eau, et non par l’air, et qu’il pénétrait dans le corps par la bouche. Soho lui offrit une terrible occasion de le vérifier. Il fit du porte-à-porte, recueillant les adresses des morts auprès du General Register Office et interrogeant les voisins sur l’endroit où ils puisaient leur eau.

Ses soupçons se portèrent sur une pompe publique de Broad Street. Le 7 septembre, il présenta ses arguments au conseil local des Guardians, et le 8 septembre, le bras de la pompe fut retiré. L’épidémie déclinait déjà, comme Snow lui-même le reconnut, tant les habitants étaient nombreux à être morts ou à avoir fui. Le bras de pompe est depuis entré dans la légende ; la carte fut la véritable prouesse.

Snow la dessina pour la deuxième édition de son livre On the Mode of Communication of Cholera, parue en 1855. Sur un plan des rues ordinaire, il marqua chaque décès d’un petit trait noir à l’adresse où il était survenu, empilant les traits depuis la rue lorsqu’une maison avait perdu plus d’une personne. Il indiqua aussi les pompes du quartier. Le résultat est saisissant aujourd’hui encore. Les traits s’accumulent en masse autour de Broad Street et s’éclaircissent avec la distance, et ils s’éclaircissent plus vite encore vers les autres pompes, là où les habitants disposaient d’une meilleure eau plus près de chez eux.

La vraie force de la carte réside dans ses exceptions. Un grand hospice de Poland Street, entouré de maisons frappées, possédait son propre puits et ne perdit qu’une poignée de ses quelques centaines de pensionnaires. La brasserie de Broad Street avait elle aussi son puits, et ses ouvriers buvaient de la bière ; aucun ne mourut. À l’inverse, une veuve de Hampstead, à des kilomètres de là, succomba au choléra après s’être fait livrer de l’eau de Broad Street, dont elle préférait le goût. Chaque exception est le genre de détail qu’un tableau enfouit et qu’une carte expose.

La cause, on l’apprit plus tard, était les langes souillés d’un bébé, rincés dans une fosse d’aisances qui fuyait dans le puits. Le révérend Henry Whitehead, vicaire du quartier d’abord sceptique envers la théorie de Snow, remonta jusqu’au cas du 40 Broad Street et devint son allié. Snow dessina une version ultérieure de la carte, avec une ligne pointillée englobant toutes les maisons plus proches, à pied, de la pompe de Broad Street que de toute autre.

Les instances officielles furent lentes à se rallier. Le Board of Health rejeta d’abord la théorie de l’eau, et Snow mourut en 1858 sans que son idée fasse l’unanimité. Mais en l’espace d’une génération, la bactérie avait été observée au microscope, Londres avait construit son grand réseau d’égouts, et la carte de Snow était devenue l’image fondatrice de l’épidémiologie : une discipline qui commence par demander où.

Le diagramme en rose de Florence Nightingale

On se souvient de Florence Nightingale comme de la Dame à la lampe, glissant la nuit entre les lits de Scutari. Elle mériterait au moins autant de gloire en dame au rapporteur. Son arme la plus importante dans la longue campagne pour réformer les soins médicaux de l’armée britannique ne fut pas une lampe, mais un diagramme, et elle le dessina pour être comprise de gens qui ne liraient jamais un tableau.

Elle revint de la guerre de Crimée en 1856 hantée par des chiffres. Parmi les soldats britanniques morts pendant la guerre, la grande majorité n’avaient pas été tués par les canons russes, mais par le choléra, le typhus, la dysenterie et les autres maladies dites « zymotiques » qui proliféraient dans les camps et les hôpitaux insalubres. Avec William Farr, le plus éminent statisticien du General Register Office, elle rassembla les décès mensuels par cause et entreprit de les faire ressentir au gouvernement.

Le diagramme qu’elle produisit en 1858 se compose de deux cercles, chacun divisé comme un cadran d’horloge en douze secteurs, un par mois. La rose de droite couvre avril 1854 à mars 1855, celle de gauche l’année suivante. Chaque secteur est en réalité trois secteurs superposés, tous mesurés depuis le centre : bleu pour les maladies évitables, rouge pour les blessures, noir pour toutes les autres causes. Point crucial, Nightingale rendit l’aire de chaque secteur, et non sa longueur, proportionnelle au taux de mortalité, si bien qu’un mois comptant quatre fois plus de morts paraît quatre fois plus grand, et non seize.

L’effet est accablant. La première année, les secteurs bleus enflent tout au long de l’hiver 1854-1855 jusqu’à leur pic monstrueux de janvier, tandis que les minces éclats rouges des blessures de guerre se perdent presque au centre. Un soldat en Crimée avait bien plus de chances de mourir des conditions dans lesquelles il vivait que de tout ce que faisait l’ennemi. Puis une ligne pointillée mène à la seconde rose, nettement plus petite. En mars 1855, une commission sanitaire était arrivée pour curer les égouts, rincer les canalisations et améliorer l’aération. Les décès reculèrent mois après mois.

Nightingale savait exactement pour qui elle dessinait. Le diagramme parut dans ses Notes on Matters Affecting the Health, Efficiency, and Hospital Administration of the British Army, imprimées à compte d’auteur et diffusées auprès des ministres, des hauts fonctionnaires et de la reine Victoria en personne. Elle voulait, en somme, montrer d’un regard à un homme occupé ce que des pages de chiffres ne lui feraient jamais ressentir.

Quelques mythes ont fleuri autour de cette image. Nightingale n’a pas inventé le diagramme en aires polaires ; de tels graphiques circulaires existaient déjà, y compris chez Farr. Le mot « coxcomb » (crête de coq) qu’elle employait semble avoir désigné le livret de diagrammes plutôt que la forme. Et l’histoire n’est pas purement héroïque : l’analyse l’obligea aussi à regarder en face à quel point son propre hôpital de Scutari avait été meurtrier avant les travaux d’assainissement.

Le diagramme porta ses fruits. Il contribua aux réformes de la commission royale, à la fondation d’une école de médecine militaire et à une nouvelle attention portée à l’hygiène dans les casernes et les hôpitaux de tout l’Empire. En 1858, Nightingale devint la première femme élue membre de la Statistical Society de Londres. Toute infographie de santé publique lui doit quelque chose de sa conviction que les statistiques ne servent à rien tant qu’un responsable ne peut pas les voir.

La carte figurative de Minard : la campagne de Russie

En 1869, un ingénieur civil français à la retraite, Charles Joseph Minard, alors âgé de près de quatre-vingt-dix ans, publia une lithographie consacrée à un désastre survenu plus d’un demi-siècle plus tôt. Elle représentait l’invasion de la Russie par Napoléon en 1812, et elle condensait l’une des grandes catastrophes de l’histoire militaire en un seul ruban beige et un seul ruban noir. Un siècle plus tard, le statisticien Edward Tufte écrirait qu’il s’agit peut-être du meilleur graphique statistique jamais dessiné, et rares sont ceux qui, l’ayant étudié de près, le contredisent.

Minard avait passé sa carrière à construire des canaux, des ponts et des chemins de fer, et à la retraite il se consacra à ce qu’il appelait des cartes figuratives, des graphiques où les flux de marchandises ou de personnes étaient dessinés comme des bandes dont la largeur était proportionnelle au volume. Il avait cartographié les mouvements du coton, du vin et du charbon. La campagne de Russie fut son chef-d’œuvre, et il la publia avec un pendant montrant l’armée d’Hannibal fondant à mesure qu’elle franchissait les Alpes.

Le graphique se lit de gauche à droite. Au Niémen, à la frontière occidentale de l’Empire russe, la bande beige est énorme : 422 000 hommes, selon les chiffres de Minard. À mesure qu’elle progresse vers Moscou, elle s’amincit inexorablement, perdant des hommes à cause des maladies, des désertions, des garnisons laissées en route et des batailles. Des détachements se séparent. Quand la bande atteint Moscou, elle fait moins du quart de sa largeur initiale, environ 100 000 soldats, qui arrivent dans une ville abandonnée et bientôt en flammes.

Puis la couleur change. La retraite est tracée en noir, refluant vers l’ouest sous l’avancée, et elle s’amenuise à une vitesse effroyable. Le moment le plus brutal survient à la Bérézina, où la bande noire, brièvement grossie par un détachement de retour, est presque coupée en deux lors de la traversée désespérée de la fin novembre. Lorsqu’elle repasse le Niémen en se traînant, Minard compte environ 10 000 hommes : un fil noir là où coulait jadis un fleuve beige.

Sous la carte court l’élément qui fait d’un bon graphique un grand graphique. Minard ajouta une courbe des températures pendant la retraite, relevées en degrés Réaumur, chaque mesure étant reliée par un mince trait vertical au lieu et à la date correspondants sur la bande noire au-dessus. Tandis que la courbe plonge en novembre puis en décembre, jusqu’à environ trente degrés sous zéro sur l’échelle de Réaumur, le lecteur voit l’armée mourir de froid au même rythme.

Qu’on compte les variables, et la prouesse apparaît plus clairement. La largeur de la bande indique la taille de l’armée ; sa position, la latitude et la longitude ; sa couleur, le sens de la marche ; les dates et les températures figurent en bas. Six types d’information se partagent une seule feuille de papier, sans le moindre paragraphe d’explication, et pourtant le message d’ensemble passe en quelques secondes. Minard plaidait aussi une cause : il avait traversé les guerres de l’époque napoléonienne et en détestait le coût.

Il mourut en 1870, alors que la France glissait dans une nouvelle guerre. Sa carte fut ensuite défendue par le physiologiste Étienne-Jules Marey puis, bien plus tard, par Tufte, dont les livres en firent une affiche aux murs des écoles de design du monde entier. Elle demeure l’étalon auquel se mesure, en silence, tout graphique de données ambitieux.

Le diagramme de corrélation de Galton

Francis Galton était de ces Victoriens qui mesuraient tout. Il comptait les gestes d’agacement dans l’auditoire des conférences, conçut un sifflet pour tester la limite supérieure de l’audition, dessina la première carte météorologique imprimée dans un journal et contribua à faire des empreintes digitales un moyen d’identification. Demi-cousin de Charles Darwin, il devint obsédé par une question que l’œuvre de Darwin avait aiguisée : comment, exactement, les caractères passent-ils des parents aux enfants ? En 1886, il y répondit en partie avec un diagramme qui donna au monde un mot nouveau.

Galton remarqua d’abord l’effet chez les pois de senteur. Dans les années 1870, il envoya à des amis dans toute la Grande-Bretagne des sachets de graines triées par taille, leur demandant de faire pousser les plantes et de lui renvoyer les graines de la génération suivante. Les grands parents donnaient de grands descendants, mais pas tout à fait aussi grands ; les petits parents en donnaient de petits, mais pas tout à fait aussi petits. La génération suivante revenait vers la moyenne. Il appela cela « réversion », et voulut savoir si les humains en faisaient autant.

Pour le découvrir, il recueillit les tailles de familles entières, en partie grâce à un concours qui récompensait d’un prix en argent les meilleurs registres familiaux. Il obtint ainsi 928 enfants adultes issus de 205 couples de parents. Pour comparer hommes et femmes sur une même échelle, il multiplia chaque taille féminine par 1,08, puis fit la moyenne de chaque père et de chaque mère ainsi ajustée en un « parent moyen » unique. Il disposa ensuite les données en tableau, les parents moyens d’un côté, les enfants de l’autre, chaque case contenant le nombre de familles qui y tombaient.

En regardant cette grille, Galton vit une forme. S’il reliait les cases aux effectifs semblables, les lignes formaient des ellipses concentriques, inclinées, mais pas assez. Elles penchaient dans le sens de l’hérédité, les grands avec les grands, mais elles étaient aplaties : les enfants des parents les plus grands étaient en moyenne plus petits que leurs parents, et ceux des parents les plus petits, plus grands. Il demanda au mathématicien de Cambridge J. D. Hamilton Dickson de vérifier si la théorie prévoyait bien des ellipses, et Dickson le confirma par le seul calcul. Les données et la géométrie concordaient.

La droite passant par le centre de chaque ligne, constata Galton, avait une pente d’environ deux tiers. Les parents exceptionnels avaient tendance à avoir des enfants dont la taille s’écartait de la moyenne de la population d’environ deux tiers seulement de leur propre écart. Il appela cela « régression vers la médiocrité » dans son article de 1886, la médiocrité désignant alors simplement le milieu. Deux ans plus tard, il généralisa l’idée sous le nom de co-relation, et son protégé Karl Pearson en tira plus tard le coefficient de corrélation enseigné dans tous les cours de statistique.

La leçon du diagramme dépasse de loin la taille. Partout où deux mesures sont imparfaitement liées, les extrêmes de l’une tendent à s’associer à des valeurs moins extrêmes de l’autre. Les champions enchaînent une saison brillante avec une saison simplement bonne ; le pire mois d’une clinique est suivi d’un meilleur, quoi qu’elle fasse. Prendre cette dérive pour un effet réel, ce qu’on appelle le sophisme de la régression, trompe encore médecins, dirigeants et gouvernements.

L’héritage de Galton comporte une part plus sombre, et il faut le dire franchement. Il forgea le mot eugénisme en 1883 et prôna la sélection d’une humanité « meilleure », des idées qui nourrirent certaines des politiques les plus cruelles du XXe siècle. L’homme qui apprit à la science à raisonner sur la variation montra aussi à quel point on pouvait en mésuser. L’ellipse inclinée demeure, un outil bien plus honnête que les usages qu’il imaginait pour elle.

La carte de la pauvreté de Charles Booth

Dans les années 1880, Londres était la ville la plus riche du monde et, selon un chœur croissant de réformateurs, le foyer d’une immense population engloutie dans la misère. Personne ne savait vraiment quelle était son ampleur. Charles Booth, riche armateur de Liverpool installé à Londres, décida de le découvrir, et la carte qu’il produisit en 1889 transforma un débat d’impressions en un débat sur des rues.

Booth était homme d’affaires par tempérament, méthodique et méfiant envers les affirmations à sensation. Selon une histoire répandue, il entreprit de réfuter une estimation socialiste selon laquelle un quart des Londoniens vivaient dans une pauvreté extrême, et finit par conclure que la vérité était pire. Quel qu’ait été son mobile, il aborda le problème comme il aurait abordé un registre de fret. À partir de 1886, en commençant par l’East End, il entreprit avec une petite équipe d’enquêteurs, parmi lesquels la cousine de sa femme, Beatrice Potter, future Beatrice Webb, de classer chaque foyer de la capitale.

Leur meilleure source fut une armée de visiteurs du School Board, des agents chargés de frapper aux portes pour retrouver les enfants absents de l’école. Ils savaient qui vivait où, combien d’enfants comptait chaque famille, ce que faisait le père et avec quelle régularité il travaillait. L’équipe de Booth les interrogea rue par rue et, lors des enquêtes suivantes, parcourut elle-même les rues, souvent accompagnée de policiers du quartier, remplissant des carnets de descriptions acérées et parfois moralisatrices.

Les résultats furent reportés sur une carte en sept couleurs, chaque rue étant peinte selon la condition de ses habitants. Le jaune désignait les riches, le rouge la classe moyenne aisée, le rose les ménages assez confortables aux revenus ordinaires et réguliers. Le violet signifiait mixte, certains à l’aise, d’autres pauvres. Le bleu clair correspondait aux pauvres, le bleu foncé aux très pauvres, vivant dans un besoin chronique. Le noir marquait la classe la plus basse, que Booth qualifiait, dans la langue franche et impitoyable de son époque, de vicieuse et semi-criminelle.

Ce que révélait la carte, ce n’était pas simplement que l’East End était pauvre. Elle montrait le grain de la pauvreté. Les grandes artères étaient souvent rouges et roses, bordées de commerçants et d’employés, tandis que le bleu foncé et le noir se trouvaient à quelques mètres derrière, au fond de ruelles et de cours invisibles depuis l’omnibus. Riches et pauvres vivaient bien plus près les uns des autres que ne le supposait le respectable West End. Et la pauvreté était énorme : Booth estima qu’environ 30,7 % des Londoniens vivaient dans la pauvreté, sous un seuil qu’il appela la ligne de pauvreté, expression qui n’a plus quitté le vocabulaire depuis.

L’enquête devint Life and Labour of the People in London, qui compta finalement dix-sept volumes, publiés jusqu’en 1903. Les conclusions de Booth sapaient la croyance rassurante selon laquelle la pauvreté tenait surtout à l’alcool et à la paresse : elle venait en grande partie de salaires bas et irréguliers, de la maladie et, par-dessus tout, de la vieillesse. Il fit campagne pour des retraites d’État, et l’Old Age Pensions Act de 1908 dut beaucoup à ses données. L’étude de Seebohm Rowntree sur York et la longue lignée des enquêtes sociales britanniques suivirent sa méthode.

Les carnets et les cartes de Booth sont conservés à la London School of Economics, aujourd’hui consultables en ligne, et les historiens s’en servent encore pour retracer l’histoire de rues précises. Ses catégories étaient moralisatrices et grossières selon les critères actuels. Mais le principe qu’il établit, à savoir qu’on ne peut résoudre un problème social qu’on n’a pas mesuré, et qu’on ne peut le mesurer depuis son fauteuil, devint le fondement des sciences sociales.

Les portraits de données de W. E. B. Du Bois

À l’Exposition universelle de Paris en 1900, parmi les lumières électriques, les trottoirs roulants et les palais de l’industrie, une petite salle du palais de l’Économie sociale abritait l’une des présentations les plus saisissantes de la manifestation. Ses murs étaient tapissés de photographies d’Afro-Américains chez eux, dans leurs écoles et leurs commerces, ainsi que d’une série de graphiques dessinés à la main dans des rouges, des ors, des verts et des noirs éclatants. Ils avaient été réalisés sous la direction de W. E. B. Du Bois, et ils entendaient montrer au monde, chiffres à l’appui, ce que les Afro-Américains avaient accompli dans les trente-cinq ans écoulés depuis la fin de l’esclavage.

Du Bois était alors un jeune sociologue de l’université d’Atlanta. Il était devenu en 1895 le premier Afro-Américain titulaire d’un doctorat de Harvard, et venait de publier The Philadelphia Negro, étude minutieuse, rue par rue, d’une communauté noire à la manière de Charles Booth. Lorsque l’avocat et éducateur Thomas J. Calloway obtint le feu vert pour une American Negro Exhibit à Paris, il demanda à Du Bois d’y contribuer. Avec une petite équipe d’étudiants et d’anciens élèves, Du Bois produisit une soixantaine de grands graphiques en quelques mois.

Ils formaient deux séries. L’une portait sur les Afro-Américains de tout le pays ; l’autre, intitulée The Georgia Negro: A Social Study, se concentrait sur un seul État, celui qui comptait la plus forte population noire. Les légendes étaient rédigées en anglais et en français, pour le public parisien. Les sujets étaient délibérément concrets : population, alphabétisation, professions, superficie des terres possédées et valeur du mobilier, essor des entreprises et des églises.

C’est le dessin qui les rend inoubliables. Du Bois et ses étudiants ne copièrent pas les conventions arides des atlas statistiques officiels. Ils enroulaient les barres en spirale quand les chiffres débordaient de la page, empilaient des aplats de couleur, employaient des formes géométriques franches qui semblent en avance de plusieurs décennies, plus proches des affiches modernistes que des rapports de recensement. Le graphique redessiné ici montre la proportion de libres et d’esclaves parmi les Afro-Américains de 1790 à 1870. Une vaste masse noire emplit la page, surmontée d’une mince bande verte, celle des libres, qui ne change presque pas en soixante-dix ans. Puis, à la fin, toute la colonne devient verte : cent pour cent de libres.

Chaque graphique s’attaquait à un mensonge. La science suprémaciste blanche de l’époque affirmait que les Afro-Américains étaient incapables de progrès et que la liberté les condamnait. Du Bois répondit par des chiffres recueillis avec rigueur et présentés avec une clarté à laquelle aucun lecteur ne pouvait se dérober, montrant les biens accumulés, l’analphabétisme en chute libre et des vies bâties en dépit de la ségrégation et de la violence. Dans Les Âmes du peuple noir, trois ans plus tard, il écrirait que le problème du XXe siècle est le problème de la ligne de couleur ; à Paris, il avait dessiné cette ligne.

L’exposition remporta des récompenses, dont une médaille d’or décernée à Du Bois en tant que collaborateur. Les graphiques furent ensuite déposés à la Bibliothèque du Congrès, où ils restèrent presque inaperçus pendant la majeure partie d’un siècle. Leur redécouverte, couronnée en 2018 par un livre qui les réunit sous le titre W. E. B. Du Bois’s Data Portraits, en a fait des icônes à la fois du design de données et de l’histoire intellectuelle noire. Ils prouvent que la visualisation de données a toujours été un acte de plaidoyer, et qu’un graphique peut être beau et furieux à la fois.

Le diagramme de Sankey

Le capitaine Matthew Henry Phineas Riall Sankey portait un nom presque aussi long que les pertes d’énergie qu’il entreprit de dessiner. Ingénieur né en Irlande, ancien officier des Royal Engineers, il consacra une grande partie de sa carrière à la question pratique qui obsédait la fin de l’ère victorienne : comment tirer davantage de travail d’une tonne de charbon. En 1898, dans un article sur le rendement thermique des machines à vapeur présenté à l’Institution of Civil Engineers, il inséra une figure qui ressemblait à un fleuve sortant de son lit.

Le problème auquel il était confronté relevait de la comptabilité. Une machine à vapeur reçoit une certaine quantité de chaleur issue de la combustion du charbon et n’en convertit qu’une petite fraction en travail mécanique utile. Le reste s’échappe : par la cheminée avec les gaz chauds, à travers les parois de la chaudière et des tuyaux, dans le condenseur où la vapeur usée est refroidie, et dans les frottements des pièces mobiles. Les ingénieurs savaient calculer chaque perte, mais un tableau de pourcentages ne donnait guère idée de l’endroit où se trouvait le vrai gaspillage, ni de la manière dont les éléments s’articulaient.

Sankey dessina la chaleur comme une bande dont la largeur était proportionnelle à sa quantité. Elle entre large d’un côté : toute l’énergie contenue dans le combustible. Au fil de son parcours, des branches s’en détachent, chacune aussi large que la perte qu’elle représente, s’incurvant hors du courant principal comme les bras d’un delta. Ce qui reste à l’autre bout, un ruban étonnamment mince, c’est le travail utile. Comme les largeurs se conservent, chaque unité de chaleur est comptabilisée : les flux sortants s’additionnent exactement pour égaler le flux entrant.

L’effet est immédiat et humiliant. L’œil va droit à la plus grosse branche, la chaleur rejetée dans le condenseur, et comprend qu’elle écrase le travail réellement fourni par la machine. Aucun bricolage sur les petites pertes ne changera grand-chose tant que le grand fleuve continue de se déverser là. C’est le legs durable du diagramme : il rend le plus gros flux impossible à ignorer.

Sankey n’était pas le premier à représenter des quantités par des bandes qui s’écoulent. Charles Joseph Minard l’avait fait des décennies plus tôt pour des marchandises, des voyageurs et, surtout, l’armée de Napoléon. Mais Sankey appliqua l’idée à l’énergie, où la loi de conservation donne aux bandes une rigueur satisfaisante, et son nom resta. Au début du XXe siècle, les ingénieurs allemands dessinaient ce qu’ils appelaient des diagrammes de Sankey pour les usines et les centrales, et le terme se répandit avec eux.

Aujourd’hui, la forme est partout où quelque chose se conserve et se divise. Les statistiques énergétiques nationales montrent le pétrole, le gaz, le charbon et le soleil traversant les centrales pour aboutir dans les foyers, les transports et l’industrie, avec un gros flux gris étiqueté énergie perdue. Les comptables y font circuler l’argent à travers les budgets. Les concepteurs de sites web suivent les visiteurs qui progressent dans un site et décrochent à chaque étape, et les climatologues suivent le carbone des combustibles jusqu’à l’atmosphère.

L’image porte une morale discrète. La plupart des systèmes sont bien moins efficaces que leurs propriétaires ne le pensent, et le gaspillage est rarement là où l’on regarde. Un tableau permet au lecteur de sauter la ligne gênante ; un diagramme de Sankey donne à la perte toute sa largeur réelle. Sankey l’a dessiné pour améliorer les machines à vapeur. Son véritable héritage est une façon de voir où vont les choses.

La boîte à moustaches de Tukey

John Wilder Tukey était un mathématicien incapable de laisser en paix un mot ou un nombre. Aux Bell Labs et à Princeton, il fut le co-inventeur de la transformée de Fourier rapide, un algorithme qui tourne aujourd’hui dans presque tous les téléphones et toutes les radios. On lui attribue l’invention du mot « bit » pour désigner un chiffre binaire, et l’un des tout premiers emplois imprimés de « software ». Mais son héritage le plus visible est un humble dessin de boîte flanquée de deux moustaches, conçu pour que n’importe qui, muni d’un crayon, puisse comprendre un tas de nombres.

Tukey estimait que la statistique était devenue bancale. Au milieu du XXe siècle, la discipline était dominée par les méthodes confirmatoires : des tests formels vérifiant si une hypothèse tenait, moyennant des postulats sur la distribution des données. Tukey soutenait qu’un statisticien devait d’abord regarder, explorer les données l’esprit ouvert et les laisser suggérer les questions à poser. Il appela cette démarche l’analyse exploratoire des données et, vers 1970, commença à faire circuler une édition préliminaire d’un livre portant ce titre, publié intégralement en 1977.

La boîte à moustaches, que Tukey appelait diagramme schématique, en était l’outil emblématique. Elle condense un lot de nombres en cinq valeurs : la médiane au milieu, deux « charnières » délimitant la moitié centrale des données, et les extrêmes. La boîte s’étend d’une charnière à l’autre, si bien que sa hauteur montre d’un coup d’œil la dispersion des valeurs typiques. Un trait qui la traverse marque la médiane, bien moins facile à entraîner par quelques valeurs extravagantes que la moyenne habituelle. Des traits appelés moustaches s’étirent vers les extrêmes.

Vint ensuite le trait de génie. Tukey plaça des barrières à une fois et demie la hauteur de la boîte au-delà de chaque charnière. Les moustaches s’arrêtent au dernier point de données situé à l’intérieur des barrières, et tout ce qui se trouve au-delà est dessiné individuellement sous forme de point, qualifié d’« extérieur » ou, plus loin encore, de « très éloigné ». La boîte à moustaches ne noie donc pas les bizarreries dans un résumé ; elle les isole et invite à se demander pourquoi elles sont là. Tukey aimait dire que la plus grande valeur d’une image tient à ce qu’elle nous force à remarquer ce que nous ne nous attendions pas du tout à voir.

La conception était volontairement économe. Avant l’ordinateur personnel, Tukey voulait des méthodes réalisables avec un crayon, une feuille de papier et un peu de comptage, d’où l’emploi des médianes et des charnières, obtenues simplement en ordonnant les données, au lieu des moyennes et des écarts types. Il s’appuyait sur des travaux antérieurs : l’économiste Mary Eleanor Spear avait dessiné une « barre d’étendue » semblable dans un manuel de graphiques de 1952. La version de Tukey y ajouta les barrières et les valeurs aberrantes, et donna à l’ensemble une justification rigoureuse.

Sa vraie puissance apparaît quand les boîtes se tiennent côte à côte. Une boîte seule en dit peu ; vingt boîtes alignées, une par hôpital, école, coulée d’acier ou traitement expérimental, permettent à l’œil de comparer en quelques secondes centres, dispersions et anomalies à l’échelle de tout un système. C’est ainsi que la boîte à moustaches a conquis la science, des essais cliniques aux relevés climatiques, puis les tableaux de bord des entreprises et les manuels scolaires.

Les statisticiens y ont depuis ajouté des encoches, des violons et des nuées de points, et la simple boîte peut masquer une distribution à deux bosses. Pourtant, l’esquisse à cinq nombres de Tukey reste le résumé honnête le plus rapide jamais conçu pour un lot de données, et l’habitude qu’il défendait, regarder avant de tester, est devenue la première règle de la science des données.

L’Homme de Vitruve de Léonard de Vinci

Vers 1490, à Milan, un homme d’un peu moins de quarante ans prit une feuille de papier à peu près de la taille d’une page A4 et entreprit de résoudre une énigme vieille de quinze siècles. Elle venait de Vitruve, ingénieur romain au service d’Auguste et auteur du seul traité d’architecture qui nous soit parvenu de l’Antiquité. Au livre III du De architectura, Vitruve affirmait qu’un corps humain bien fait s’inscrit dans deux figures parfaites. Couchez un homme sur le dos, écartez ses membres, placez la pointe d’un compas sur son nombril : ses doigts et ses orteils toucheront le cercle. Mettez-le debout, les bras tendus : son envergure égale sa taille, et il s’inscrit aussi dans un carré.

L’idée paraît simple. Elle est diablement difficile à dessiner. Si le cercle et le carré ont le même centre, ou bien l’homme a des bras de gorille, ou bien le carré flotte dans le vide. Les artistes de la Renaissance s’y étaient essayés, avec des résultats souvent maladroits ; Giacomo Andrea da Ferrara, ami de Léonard, en dessina une version à la même époque, et les éditions imprimées de Vitruve montrèrent plus tard des hommes écartelés comme des étoiles de mer. La solution de Léonard fut simple et un peu rusée : il donna aux deux figures des centres différents. Le cercle est centré sur le nombril, le carré sur le pubis. Le carré repose sur le bas du cercle, et son bord supérieur passe bien en dessous du sommet de celui-ci.

Puis il dessina un seul homme dans deux poses à la fois. Bras à l’horizontale et pieds joints, il remplit le carré. Bras levés et jambes écartées, il touche le cercle. Quatre bras et quatre jambes sur un seul torse devraient faire un monstre ; pourtant l’ensemble respire le calme, et le visage est aussi posé que celui d’un portrait. Sous la figure, Léonard traça une échelle graduée en paumes et en doigts et, tout autour, de son habituelle écriture en miroir, de droite à gauche, il recopia un résumé des mesures de Vitruve : quatre doigts font une paume, quatre paumes un pied, six paumes une coudée, quatre coudées la taille d’un homme, soit vingt-quatre paumes en tout. La tête, du menton au sommet du crâne, vaut un huitième de l’ensemble.

Ce dessin n’est donc pas un portrait mais un schéma, un raisonnement mené au compas et à la règle. Il affirme que le corps et la géométrie s’accordent, que les proportions qui règlent un temple règlent aussi la personne qui s’y tient. C’est exactement ce que Vitruve voulait faire croire aux architectes, et ce que les humanistes de l’Italie de Léonard voulaient croire d’eux-mêmes. Léonard confronta d’ailleurs cette thèse à ses propres mesures anatomiques et, là où les chiffres antiques et ses observations divergeaient, il corrigea discrètement la figure plutôt que les instruments.

La feuille, d’environ 34 centimètres sur 25, est conservée aux Gallerie dell’Accademia de Venise, où on l’expose rarement car la lumière l’abîme. Son absence des cimaises ne l’a pas freinée pour autant. Elle est devenue le logo de la Renaissance elle-même : frappée sur la pièce italienne d’un euro, imprimée sur les manuels de médecine, empruntée par des agences spatiales et des salles de sport, parodiée par des personnages de dessin animé dans la même pose écartelée.

La vraie leçon est plus discrète. Léonard a montré qu’un schéma peut réconcilier deux règles incompatibles en les dessinant dans un même cadre et en déplaçant une seule hypothèse, le centre commun. De Palladio à Le Corbusier, dont le Modulor des années 1940 était un système de mesure à l’échelle humaine, les architectes n’ont cessé de revenir à l’idée que les bâtiments doivent se dimensionner à partir des corps. L’ergonomie, les barèmes de tailles des tailleurs et les mannequins des sièges automobiles héritent tous du même pari : dessiner la personne et la contrainte ensemble, et voir si elles s’ajustent vraiment.

Les vues éclatées de Léonard de Vinci

Une machine dessinée tout entière est une devinette. On voit la manivelle et le tambour, mais l’essentiel, le pignon caché derrière la roue, le cliquet qui empêche la charge de redescendre, l’épaulement de l’axe qui maintient le tout en place, reste enfoui à l’intérieur. Les ingénieurs de la Renaissance connaissaient bien ce problème. Mariano Taccola et Francesco di Giorgio remplissaient leurs carnets de treuils, de moulins et d’engins de siège, et leurs lecteurs devaient souvent deviner comment les pièces s’assemblaient. Léonard de Vinci, qui travailla à Milan dans les années 1480 et 1490, puis à Florence et en France, trouva une autre façon de regarder.

Sur des feuillets aujourd’hui reliés dans le Codex Atlanticus, à Milan, et dans les deux Codex de Madrid, il dessina un mécanisme une première fois assemblé, puis une seconde fois à côté, démonté. Les pièces ne sont pas éparpillées au hasard. Elles flottent dans l’air le long de l’axe sur lequel elles coulissent pour s’emboîter, dans l’ordre où on les monterait, chacune légèrement tournée pour montrer sa face utile. Un axe se tient à côté de la roue qu’il traverse ; la roue dentée est suspendue près du pignon qu’elle entraîne ; le rochet attend le cliquet qui viendra le bloquer. Les historiens hésitent toujours à parler de grande première, mais on reconnaît généralement à Léonard d’avoir été le premier ingénieur à employer la vue éclatée de façon systématique.

L’idée ne paraît évidente que parce que nous avons grandi avec elle. Elle exigeait deux sauts. D’abord, le dessinateur doit se représenter l’objet en trois dimensions avec une assurance totale, puisque rien de ce qui figure sur la page ne peut être copié d’après nature : personne n’a jamais vu un treuil suspendu en pièces détachées. Ensuite, il doit admettre qu’un dessin n’est pas tenu de montrer un instant qui puisse exister. La vue éclatée de Léonard est l’image d’un processus, le montage, figé en un seul tableau. L’espace de la page y tient lieu du temps passé à l’établi.

Léonard appliquait partout la même habitude. Dans ses études anatomiques, il dessinait os et muscles sous plusieurs angles, retirait les couches une à une, plaçait côte à côte les deux moitiés d’un crâne. Il écrivit qu’une chose doit être montrée de plusieurs points de vue pour que le lecteur en retire une connaissance vraie de sa forme. Les feuillets de machines sont ce principe transposé à la mécanique, et ils n’étaient pas destinés à l’imprimeur. La plupart de ses carnets restèrent privés et furent dispersés après sa mort en 1519 ; les Codex de Madrid eux-mêmes demeurèrent égarés dans un catalogue de bibliothèque jusqu’en 1967.

La vue éclatée dut donc être réinventée, et elle le fut, à maintes reprises. Le De re metallica d’Agricola, en 1556, imprima des machines minières aux pièces étalées et légendées par des lettres. Au XIXe siècle, dessins techniques, figures de brevets et manuels d’armuriers montraient des composants séparés, reliés par des pointillés indiquant la place de chacun ; au XXe siècle, la vue éclatée était devenue la grammaire ordinaire du manuel d’atelier, du catalogue de pièces détachées et du manuel d’entretien des avions.

Si elle perdure, c’est qu’elle répond à la question que se pose réellement tout mécanicien : dans quel ordre, et selon quel axe ? Une photographie ne peut pas y répondre. Une vue en coupe n’y répond qu’en partie. Les pièces flottantes de Léonard donnent la réponse d’un coup d’œil, et permettent à un seul dessin d’apprendre à quelqu’un qui n’a jamais vu la machine montée à l’assembler de ses propres mains. Chaque notice de meuble en kit et chaque assemblage de CAO qui se démonte en tournant sur un écran recourt encore à son astuce.

Le plan du négrier Brookes